5.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов

В табл. 5.2.1б приведена группировка колхозов и совхозов Республики Беларусь по урожайности картофеля в 1992 г.

Пример 1.

Рассмотрим статистическое распределение хозяйств Гродненской области по урожайности картофеля в 1992 г. (см. табл. 5.2.4, графы 1–3).

Требуется: используя универсальный метод моментов, вычислить выравнивающее распределение, оценить его параметры, рассчитать значения плотности в серединах каждого интервала, оценить по критерию “хu-квадрат” степень близости выравнивающей кривой к статистическому распределению.

Решение.

Пусть выравнивающее распределение относится к первой системе непрерывных распределений.

В этом случае установление типа выравнивающей кривой осуществляется так же, как и по классическому методу моментов, т.е. вычисляются среднее, центральные моменты (2–4)-го порядков, показатели . Для расчетов используем программу.

Таблица 5.2.4

Распределение колхозов и совхозов Гродненской области по урожайности картофеля в 1992г.

Сбор с 1 га ц	Середина интерв. хi	Число хозяйств	Теорет. плотность p(хi)	Теорет. частота mi=p(хi)Mh
25- 50 50- 75 75-100 100-125 125-150 150-175 175-200 200-225 225-250 250-275	37,5 62,5 87,5 112,5 137,5 162,5 187,5 212,5 237,5 262,5	57 85 67 28 14	0,000217 0,002681 0,008678 0,011729 0,008973 0,004739 0,001965 0,000696 0,000223 0,000067	60,746 82,103 62,811 33,173 13,755	0,025 0,231 0,102 0,279 0,807 0,004 0,175

По статистическим данным табл. 5.2.4 находим:

С помощью номограммы (приложение 2) устанавливаем, что выравнивающее распределение относится ко II типу, поскольку , и задается обобщенной плотностьюр(х).

Оценку параметра k можно найти по той же номограмме.

В первом приближении имеем: . Более точное значение параметраk, полученное по программе, равно k = 3,10842. Оценки остальных параметров и нормирующего множителя равны:

Они были вычислены по формулам (4.4.11):

,

где ;(см. табл. 3.3.3).

Для вычисления величин использовались формулы (4.4.13), (4.4.14).

Выравнивающее распределение задается плотностью

.

В табл. 5.2.4. в графе 4 приведены расчетные значения плотности распределения в серединах интервалов р(х_i), а в графе 5 – теоретические частоты m_i.

Критерий согласия К. Пирсона оказался равным: χ² = 1,623.

По таблице χ² – распределения при числе степеней свободы r=7–3–1=3 и χ² =1,623 находим вероятность того, что за счет случайных причин мера расхождения между статистическим и выравнивающим распределениями будет не менее 1,623. Эта вероятность оказалась достаточно высокой – Р(χ²)=0,658. Поэтому нет оснований для отклонения гипотезы о согласии выравнивающего распределения II΄ типа с эмпирическими данными.

Результаты расчетов представлены на рис. 5.2.2.

Рис. 5.2.2. Распределение колхозов и совхозов

Гродненской области по урожайности картофеля в 1992 г.

На рисунке указаны нижняя и верхняя границы 90%-го интервала урожайности: х_н = 68,79; х_в = 185,51. Это значит, что 90% хозяйств имели урожайность картофеля на интервале х_н<х<x_в при средней урожайности .

Пример 2. Требуется: используя универсальный метод моментов, по статистическим данным табл. 5.2.5 (графы 1–3) вычислить выравнивающее распределение, оценить его параметры, рассчитать значения плотности в серединах каждого интервала, оценить по критерию “хu-квадрат” степень близости выравнивающей кривой к эмпирическому распределению. Вычислить нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала при доверительной вероятности Р = 0,9545.

Решение. Выравнивающее распределение задается первой системой непрерывных распределений. По программе находим:

.

Таблица 5.2.5

Интервальный ряд распределения предела прочности

на сжатие портландцементного раствора

28-дневного возраста [9, c. 269]

Интервал, кг/см2	Середина интерв. хi	Эмпирич. частота	Теорет. плотность p(хi)	Теорет. частота mi=p(хi)Mh
210-230 230-250 250-270 270-290 290-310 310-330 330-350 350-370 370-390 390-410 410-430 430-450	220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440	5 21 59 135 218 227 186 88 36 16	0,000201 0,000915 0,003035 0,006982 0,010863 0,011496 0,008568 0,004747 0,002077 0,000761 0,000245 0,000072	4,02 18,30 60,70 139,64 217,26 229,92 171,36 94,94 41,54 15,22	0,24 0,40 0,05 0,15 0,00 0,04 1,25 0,51 0,74 0,04 1,12

Выравнивающее распределение относится к III типу и имеет оценки параметров:

Параметр β вычислялся по формуле

,

где .

Произведение αu – по формуле

,

где

.

Нормирующий множитель

.

Выравнивающее распределение задается плотностью

.

В таблице 5.2.5. в графе 4 приведены расчетные значения плотности распределения в серединах интервалов, а в графе 5 – теоретические частоты m_i. Критерий согласия К. Пирсона оказался равным:. При числе степеней свободыr=11–4–1=6 это соответствует вероятности , что значительно больше обычно принимаемого уровня значимости α =0,05. Поэтому нет оснований для отклонения гипотезы о согласии выравнивающего распределения III типа с эмпирическими данными.

Верхняя и нижняя границы интервала при Р = 0,9545 равны: х_н=248,7699; х_в=390,2907. При этом ширина интервала равна 141,5207 кг/см² и составляет 4,03342 средних квадратических отклонений. Функция распределения F(х_н)=0,02275; F(x_в)=0,97725.