- •В.В. Нешитой
- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •1.5. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •1.6. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •1.7. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1.8. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •1.8.1. Математическое ожидание
- •1.8.2. Свойства математического ожидания
- •1.8.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.8.4. Свойства дисперсии
- •1.8.5. Среднее квадратическое отклонение
- •1.8.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •1.8.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •1.10.2. Плотность распределения
- •1.11. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •1.12. Примеры непрерывных распределений
- •1.12.1. Нормальный закон
- •1.12.2. Показательный закон
- •1.12.3. Закон Вейбулла
- •1.13. Элементы математической статистики
- •1.13.1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Характеристики вариационного ряда
- •1.13.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •1.13.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •1.13.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •1.13.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •2. Вероятностная модель текста и ее исследование
- •2.1. Понятие математического ожидания случайной функции, нового события и кривой роста новых событий
- •2.2. Математическое ожидание случайной функции и кривая роста новых событий. Связь с законами распределения вероятностей разных и новых событий
- •2.3. Установление статистической структуры выборки по кривой роста новых событий
- •2.4. Восстановление кривой роста новых событий по статистической структуре выборки
- •2.5. Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •3. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •3.1. Методы построения обобщенных распределений
- •3.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •3.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •3.4. Распределения функций случайного аргумента
- •3.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в.Нешитого
- •3.6. Обобщение систем непрерывных распределений
- •3.6.1. Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •3.6.2. Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •4. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •4.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •4.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •4.3. Классический метод моментов
- •4.3.3. Симметричные распределения Ic–iiIc типов
- •4.3.4. Критерии для классификации распределений по методу моментов
- •4.4. Универсальный метод моментов
- •4.4.1. Расширение трех систем непрерывных распределений
- •4.4.2. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •4.4.3. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •4.4.4. Законы распределения среднего выборочного
- •4.5. Устойчивый метод
- •5. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •5.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •5.2. Вычисление выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •5.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •5.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •5.2.3. Выравнивание по устойчивому методу
- •Показатели статистического распределения (snr2v08a)
- •Распределение 3-го типа с параметрами
- •5.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •5.3. Прогнозирование распределений
- •5.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •5.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу (Расчет по данным обследования 90 тыс. Семейных бюджетов)
- •5.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •5.4. Ранговые распределения
- •5.4.1. Форма представления ранговых распределений
- •5.4.2 Универсальный закон рассеяния публикаций
- •5.5.3. Универсальный закон старения публикаций
- •5.4.4. Ранговые распределения лексических единиц
- •6. Временные (динамические) ряды
- •6.1. Методы выделения тренда
- •6.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •6.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •6.2.2. Метод обобщения
- •6.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •6.3. Оценивание параметров кривых роста
- •6.3.1. Уравнение прямой
- •6.3.2. Экспонента
- •6.3.3. Обобщенная кривая роста
- •6.4. Прогнозирование временных рядов
- •6.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •6.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Приложения Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 5 Основные сведения о программах
- •Литература
- •Содержание
- •Математико-статистические
- •Методы анализа
- •В библиотечно-информационной
- •Деятельности
Приложение 2
Номограмма для установления типа выравнивающего
распределения и нахождения оценок параметров k, u
по методу моментов
Приложение 3
Номограмма для установления типа выравнивающего
распределения и нахождения оценок параметров k, u
по общему устойчивому методу
Приложение 4
Значения квантили в зависимости от уровня вероятности и числа степеней свободыr
Число степеней свободы r |
Вероятность | ||||||
0,95 |
0,90 |
0,70 |
0,50 |
0,30 |
0,10 |
0,05 | |
|
0,004 |
0,016 |
0,148 |
0,455 |
1,07 |
2,7 |
3,8 |
|
0,103 |
0,211 |
0,713 |
1,386 |
2,41 |
4,6 |
6,0 |
|
0,352 |
0,584 |
1,424 |
2,366 |
3,66 |
6,3 |
7,8 |
|
0,71 |
1,06 |
2,19 |
3,36 |
4,9 |
7,8 |
9,5 |
|
1,14 |
1,61 |
3,00 |
4,35 |
6,1 |
9,2 |
11,1 |
|
1,63 |
2,20 |
3,83 |
5,35 |
7,2 |
10,6 |
12,6 |
|
2,17 |
2,83 |
4,67 |
6,35 |
8,4 |
12,0 |
14,1 |
|
2,73 |
3,49 |
5,53 |
7,34 |
9,5 |
13,4 |
15,5 |
|
3,32 |
4,17 |
6,39 |
8,34 |
10,7 |
14,7 |
16,9 |
|
3,94 |
4,86 |
7,27 |
9,34 |
11,8 |
16,0 |
18,3 |
|
4,6 |
5,6 |
8,1 |
10,3 |
12,9 |
17,3 |
19,7 |
|
5,2 |
6,3 |
9,0 |
11,3 |
14,0 |
18,5 |
21,0 |
|
5,9 |
7,0 |
9,9 |
12,3 |
15,1 |
19,8 |
22,4 |
|
6,6 |
7,8 |
10,8 |
13,3 |
16,2 |
21,1 |
23,7 |
|
7,3 |
8,5 |
11,7 |
14,3 |
17,3 |
22,3 |
25,0 |
Приложение 5 Основные сведения о программах
1. Для работы с тремя системами непрерывных распределений, которые заданы обобщенными плотностями (4.4.17)–(4.4.19), автором за период с 1988 по 1997 гг. разработаны две серии программ.
В первой серии программ версии 1997г. для установления типа выравнивающего распределения и нахождения оценок параметров используются классический метод моментов К.Пирсона и универсальный метод моментов, разработанный автором, что отражено в названии программ (SNR1MM97, SNR2MM97, SNR3MM97). Последние могут обрабатывать как сгруппированные, так и несгруппированные статистические данные, а при необходимости – осуществлять группировку.
Во второй серии программ (SNR1V97, SNR2V97, SNR3V97) используется устойчивый метод оценивания параметров, также разработанный автором. В этом случае обработка статистических данных осуществляется после предварительного их группирования.
2. Программы предназначены для аппроксимации (выравнивания) широкого класса статистических распределений, имеющих не более одной моды.
3. Программы вычисляют и выдают на экран показатели статистического распределения – среднее, минимальное и максимальное значения, размах, дисперсию, центральные моменты 3-го и 4-го порядков, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, критерий В.Нешитого L1, показатели асимметрии и островершинности В1, В2 (в случае метода моментов), показатели В, Н (в случае устойчивого метода), по которым вычисляются наилучшее выравнивающее распределение и точечные оценки параметров; выдают результаты группировки при вводе несгруппированных статистических данных; выдают формулу плотности вероятностей и интервал, на котором задана случайная величина. На базе выравнивающего распределения рассчитываются значения плотности вероятностей и функции распределения; вычисляются квантили, процентили, координаты характерных точек – моды и точек перегиба; строится график плотности распределения (выравнивающая кривая – пунктирной линией, эмпирическое распределение – отдельными точками). Рассчитываются показатели уровня качества – коэффициенты точности (рассеяния) и уровня настройки (смещения), а также ожидаемый процент брака, в том числе на нижней и верхней границах конструкторского допуска. На кривой распределения вертикальными линиями указываются границы конструкторского и технологического допусков.
И, наконец, программы последних версий (2001 и 2003гг.) рассчитывают необходимое смещение центра статистического распределения для уменьшения процента брака до минимума при неизменном коэффициенте точности.
Кроме того, программы вычисляют законы распределения суммы и среднего n независимых одинаково распределенных случайных величин; вычисляют прогнозируемое распределение. Перечень решаемых задач периодически пополняется.
4. Необходимый вид расчета выбирается с помощью меню, которое имеет вид (на примере программ SNR1MM01 и SNR1MM03):
ВВЕДИТЕ ВИД РАСЧЕТА
1 – плотности вероятностей и функции распределения
2 – квантилей
3 – процентилей
4 – доверительных интервалов
5 – доверительной вероятности
6 – координат моды С и точек перегиба А, В
7 – построение кривой распределения
8 – показателей уровня качества
9 – на начало программы
10 – окончание работы
11 – переход на нормальный закон
12 ВВЕДИТЕ НОМЕР ЗАДАЧИ
1 – распределение суммы
2 – распределение среднего
3 – прогнозирование распределения
4 – восстановление распределения по моментам
5 – возврат к исходному распределению
6. Минимальный объем выборки должен быть не менее 25 значений контролируемого параметра при статистическом регулировании технологического процесса и не менее 100 значений при статистическом анализе точности технологического процесса.
7. Программы обеспечивают вычисление различных показателей с точностью 5–6 значащих цифр, что вполне достаточно для практических расчетов.
8. Программы работают под управлением MS DOS. Язык программирования – BASIC.
9. Для обработки результатов испытаний на надежность разработано несколько программ, которые позволяют по небольшому числу значений наработки до отказа восстанавливать закон распределения, находить оценки его параметров, вычислять значения плотности вероятностей и функции распределения, вычислять квантили, гамма-процентный ресурс, вероятность безотказной работы на заданный момент времени, среднюю наработку до отказа и некоторые другие показатели.
Выбор вида расчета осуществляется с помощью меню.
10. Для выравнивания и прогнозирования временных рядов по обобщенным кривым роста также разработан ряд программ.
11. Для работы с системой дискретных распределений разработана программа SDR.