1.4. Основные формулы комбинаторики

Используются для вычисления вероятностей событий.

Перестановки – комбинации из n различных элементов, отличающиеся лишь порядком. Число перестановок вычисляется по формуле

.

Число перестановок из n элементов по m, где каждый элемент может использоваться от 0 до m раз, равно

.

Например, при n=2, m=8 P_n,m=2⁸ =256.

Размещения – комбинации из n различных элементов по m элементов, которые различаются либо составом элементов, либо их порядком

.

Сочетания – комбинации из n различных элементов по m элементов, различающиеся хотя бы одним элементом

.

При этом , откуда следует, что 0! = 1.

Пример.

В партии из N деталей М стандартных. Выбираются n деталей. Требуется найти вероятность того, что m деталей будут стандартными.

Решение. Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно взять n деталей из N. Это число равно числу сочетаний из N по n, т.е. .

Найдем далее число благоприятствующих исходов. Поскольку m стандартных деталей выбираются из общего их числа М, то число таких комбинаций равно . Остальныеn-m нестандартных деталей выбираются из N–M нестандартных деталей – это комбинаций. Число благоприятствующих исходов равно произведению. Следовательно,

.

Это – известное гипергеометрическое распределение.

1.5. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)

Пусть А и В – несовместные события. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Для нескольких несовместных событий имеем

.

Для совместных событий

,

где Р(АВ) – вероятность совместного появления событий А и В.

1.6. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)

Вероятность произведения (совмещения) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В).

Пример. В урне 2 белых и 3 черных шара. Вынимаем подряд 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара белые, т.е. А=А₁А₂.

Решение. А₁ – появление белого шара при первом испытании; А₂ – появление белого шара при втором испытании.

.

Следствие теоремы умножения вероятностей.

Вероятность появления хотя бы одного события из событий А₁, А₂,…,А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

.

В частном случае, при

.

Пример. Вероятности попадания в цель каждого из трех стрелков равны: р₁=0,8; р₂=0,7; р₃=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе.

Решение. Вероятности промахов равны:

. Следовательно,

.

1.7. Закон распределения дискретной случайной величины

Для случайных величин приняты обозначения Х, Y, Z,…

Возможные значения случайной величины Х обозначаются строчными буквами х₁, х₂,…, х_n.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями (например, число отказавших приборов) в отличие от непрерывной случайной величины, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток (например, время безотказной работы прибора).

Возможные значения прерывных (дискретных) величин могут быть заранее перечислены, а непрерывных – не могут быть перечислены.

Закон распределения случайной величины – это всякое соотношение, устанавливающее взаимосвязь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. При этом сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице.

Закон распределения случайной величины можно задать таблично, аналитически и графически:

а) табличная форма задания закона распределения в виде ряда распределения

Х	х1	х2	…	хn
р	р1	р2	…	рn;

б) аналитическая форма ;

в) графическая форма – в виде многоугольника распределения.

На оси абсцисс откладываются значения случайной величины и строятся отрезки, равные по высоте вероятностям. Вершины отрезков для наглядности соединяются ломаной.