3.6. Обобщение систем непрерывных распределений

Следует отметить, что несмотря на множество обобщенных распределений (не говоря уже об ограниченном числе отдельных распределений, используемых в настоящее время на практике), их может оказаться недостаточно для описания с удовлетворительной точностью всего многообразия статистических распределений, а также распределений, которые могут встретиться в научных исследованиях.

Отсюда неизбежно следует вывод о необходимости дальнейшего обобщения полученных систем непрерывных распределений. Это дало бы возможность использовать на практике и в научных исследованиях не только четыре системы непрерывных распределений, но и промежуточные системы. Теория обобщенных распределений предоставляет в распоряжение исследователя эти системы непрерывных распределений.

Если обобщать попарно плотности p(x), p(t); p(t), p(y); p(y), p(w), то для решения этой задачи достаточно ввести один дополнительный параметр.

Примем за основу обобщения вторую систему непрерывных распределений, заданную плотностью (3.2.8)

Подберем далее такие функции случайного аргумента T (V = f(T)) или обратные функции (T = φ(V)), чтобы полученные обобщенные уже пятипараметрические плотности p(v) включали как частные случаи известные четырехпараметрические плотности.

Исследования показали, что обобщение может быть достигнуто при различном наборе функций T = φ(V). Ниже рассматриваются два варианта таких функций.

3.6.1. Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту

Рассмотрим три случая обобщений.

Случай 1. Пусть случайная величина Т, распределение которой известно и задано обобщенной плотностью (3.2.8), связана со случайной величиной V зависимостью

V > ε – 1/ε . (3.6.1)

Здесь ε – параметр, который изменяется на интервале от 0 до 1, но может принимать и другие значения.

Из (3.6.1) при ε → 0 и ε = 1 следуют равенства

Это значит, что формула (3.6.1) является обобщающей функцией для первой и второй систем непрерывных распределений, которые являются частными случаями некоторой обобщенной пятипараметрической плотности p(v). Найдем эту плотность.

Продифференцируем (3.6.1) по V

Далее на основании четырехпараметрической плотности p(t) имеем

или

(3.6.2)

При плотность (3.6.2) принимает вид

т.е. имеем первую систему непрерывных распределений.

При ε = 1 – вид

т.е. имеем вторую систему непрерывных распределений.

С ростом параметра ε от 0 до 1 обобщенные распределения, заданные плотностью (3.6.2), заполняют интервал между первой и второй системами непрерывных распределений.

Здесь следует отметить, что обобщенная плотность (3.6.2) при β = ε, k = γ/β может быть представлена в виде

Вводя далее обозначения получаем плотность (3.5.2) приβ=1, которая задает первую дополнительную систему непрерывных распределений.

Таким образом, первая дополнительная система непрерывных распределений в некоторой степени является связующим звеном между первой и второй системами непрерывных распределений.

Случай 2. Чтобы найти плотность, обобщающую вторую и третью системы непрерывных распределений, введем функцию

(3.6.3)

Тогда

(3.6.4)

Из плотности (3.6.4) при следует вторая система непрерывных распределений, заданная плотностью (3.2.8)

а при – третья система непрерывных распределений, заданная плотностью (3.4.4)

Случай 3. Наконец, чтобы найти плотность, обобщающую третью и четвертую системы непрерывных распределений, введем функцию

(3.6.5)

Тогда

(3.6.6)

Из плотности (3.6.6) при следует третья системанепрерывных распределений, заданная плотностью (3.4.4) (см. случай 2), а при – четвертая система непрерывных распределений, заданная плотностью (3.5.5)

Обобщенные пятипараметрические плотности (3.6.2), (3.6.4), (3.6.6) могут использоваться при проведении различных исследований, например, при построении вариационно-динамических моделей с различным характером роста исследуемых случайных величин.

В табл. 3.6.1 приведены результаты обобщения систем непрерывных распределений по первому варианту.

Таблица 3.6.1