- •Долгіх, В. М.
- •1. МАТРИЦІ Й ВИЗНАЧНИКИ
- •1.1. МАТРИЦІ. ВИДИ МАТРИЦЬ
- •Види матриць
- •Деякі властивості добутку матриць
- •Властивості транспонування матриці
- •1.3. ВИЗНАЧНИКИ
- •Властивості визначників
- •1.4. ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ
- •Обчислення оберненої матриці методом елементарних перетворень
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •Обчислення рангу матриць методом елементарних перетворень
- •Поняття про лінійну залежність і незалежність рядків матриці
- •1.6. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 1.1
- •Таблиця 1.2
- •Таблиця 1.3
- •Питання для самоперевірки
- •1.7. Вправи
- •2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •2.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •2.2. СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛІ
- •Схема дослідження систем
- •2.3. МЕТОД ГАУССА (метод послідовного виключення невідомих)
- •2.4. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА (метод повного виключення невідомих)
- •2.5. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ОДНОРІДНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •Однорідні системи n-го порядку (n рівнянь із n невідомими)
- •2.6. СИСТЕМИ n ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ n НЕВІДОМИМИ
- •2.6.1. Матричний метод розв’язування систем (метод оберненої матриці)
- •2.6.2. Розв’язування систем методом Крамера
- •2.7. ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЧИСЛА МАТРИЦІ
- •2.8. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 2.1
- •Таблиця 2.2
- •Питання для самоперевірки
- •2.9. Вправи
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Таблиця 2.5
- •3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
- •3.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •3.3. ЛІНІЙНА НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ
- •3.4. БАЗИС. РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА ЗА БАЗИСОМ
- •Лінійні операції над векторами в координатній формі
- •3.5. АФІННА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •3.6. ПРОЕКЦІЯ ВЕКТОРА НА ВІСЬ
- •3.7. ВЕКТОРИ В ОРТОНОРМОВАНОМУ БАЗИСІ. ДЕКАРТОВА ПРЯМОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •Лінійні операції над векторами в базисі
- •3.8. НАПРЯМНІ КОСИНУСИ ВЕКТОРА
- •3.9. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Геометричні властивості скалярного добутку
- •Скалярний добуток в ортонормованому базисі
- •Деякі важливі формули
- •3.11. ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості векторного добутку
- •Геометричні властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в ортонормованому базисі
- •3.12. МІШАНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Основна алгебраїчна властивість мішаного добутку
- •Геометричні властивості мішаного добутку
- •Мішаний добуток в ортонормованому базисі
- •Лінійні операції над векторами
- •3.13.2. Лінійна незалежність векторів. Базис і координати
- •3.13.3. Евклідів n-вимірний простір En
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Кут між векторами в евклідовому просторі En
- •Таблиця 3.1
- •Питання для самоперевірки
- •3.14. Вправи
- •4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1. СИСТЕМИ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1.1. Декартова прямокутна система координат
- •4.1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки
- •4.1.3. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення осей
- •4.2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •Параметричні рівняння лінії
- •Таблиця 4.1
- •Лінія в полярних координатах
- •Таблиця 4.2
- •4.3. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
- •4.3.1. Різні форми рівнянь прямої
- •Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих
- •4.3.3. Нормальне рівняння прямої
- •Ознаки нормального рівняння
- •4.3.4. Відстань від точки до прямої
- •4.3.5. Приклади розв’язування задач
- •4.3.6. Приклади застосування лінійної залежності в економіці
- •Лінійна залежність між витратами й обсягом виробництва продукції
- •Питання для самоперевірки
- •4.3.7. Вправи
- •4.4. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ
- •4.4.1. Основні поняття
- •4.4.2. Коло
- •4.4.4. Гіпербола
- •4.4.6. Криві другого порядку. Узагальнення
- •Питання для самоперевірки
- •4.4.7. Вправи
- •5. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
- •5.1. ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ R3
- •5.1.1. Різні форми рівнянь площини
- •Ознаки нормального рівняння
- •5.1.2. Відхилення та відстань точки від площини
- •5.1.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин
- •5.1.4. Приклади розв’язування задач
- •5.2. ПРЯМА У ПРОСТОРІ R3
- •5.2.1. Різні форми рівнянь прямої
- •5.2.3. Відстань від точки до прямої у просторі R3
- •5.2.4. Відстань між паралельними прямими у просторі R3
- •5.2.5. Відстань між перехресними прямими у просторі R3
- •Умови паралельності й перпендикулярності прямої та площини
- •Питання для самоперевірки
- •5.2.7. Вправи
- •5.3. АЛГЕБРАЇЧНІ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
- •5.3.1. Загальне рівняння поверхні другого порядку
- •5.3.2. Еліпсоїд. Сфера
- •5.3.3. Однопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.4. Двопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.5. Конус другого порядку
- •5.3.6. Еліптичний параболоїд
- •5.3.7. Гіперболічний параболоїд
- •5.3.8. Циліндри
- •Питання для самоперевірки
- •5.3.9. Вправи
- •СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
Приклад 1.22. Довести лінійну залежність рядків матриці
æ1 |
1 |
2 |
- 4 |
6 |
ö |
|
ç |
|
3 |
5 |
2 |
1 |
÷ |
A = ç0 |
÷. |
|||||
ç |
2 |
11 |
19 |
- 2 |
|
÷ |
è |
15ø |
► e3 = 2e1 + 3e2 Û 2e1 + 3e2 - e3 = 0 – рядки лінійно залежні. <
Приклад 1.23. Довести лінійну незалежність рядків матриці
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
æ1 |
-2ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è3 |
5 ø |
|
|
► c e |
+ c |
2 |
e |
2 |
= 0 Þ c |
|
(1 - 2)+ c |
2 |
(3 5 |
=)0 0(Þ íì c)1 + 3c2 = 0 Û |
||||
1 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
î- 2c1 + 5c2 = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìc |
= -3c |
2 |
, |
= c |
|
= 0 Þ рядки e , e |
|
лінійно незалежні. < |
||||||
Û í 1 |
|
|
|
|
c |
2 |
2 |
|||||||
î 11c2 = 0, |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо рядки матриці А лінійно залежні, то хоча б один із них можна подати у вигляді лінійної комбінації інших рядків.
Теорема про базисний мінор. Якщо ранг матриці дорівнює r,
то r базисних рядків лінійно незалежні, а останні рядки виражаються у вигляді лінійної комбінації базисних рядків
Наслідок. Для того щоб визначник квадратної матриці дорівнював нулю, необхідно й достатньо, щоб його рядки (стовпці) були лінійно залежні.
1.6. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ В ЕКОНОМІЦІ
Приклад 1.24. Підприємство випускає 2 види виробів: P1, P2 і при цьому використовує 3 види сировини: S1, S2, S3. Витрати сировини на один комплект продукції описуються матрицею:
æ2 |
3 |
ö |
|
ç |
|
4 |
÷ |
A = ç5 |
÷, |
||
ç |
1 |
5 |
÷ |
è |
ø |
де aij – кількість одиниць сировиниSi, яка потрібна для виготовлення одиниці продукції Pj. Розрахувати витрати ресурсів на 6 комплектів продукції.
æ2 |
3ö |
æ12 |
18 |
ö |
|||
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
► B = 6 A = 6 ×ç5 |
4÷ |
= ç30 24÷. < |
|||||
ç |
1 |
5 |
÷ |
ç |
6 |
30 |
÷ |
è |
ø |
è |
ø |
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
21
Приклад 1.25. Підприємство розмістило для продажу2 види виробів P1, P2 у магазини А і В. Кількість проданих у магазинах А і В виробів за 4 тижні подається матрицями:
æ2 |
3 |
0 |
5ö |
æ1 |
4 |
3 |
2ö |
||||
A = ç |
|
|
|
|
÷, |
B = ç |
|
|
|
|
÷, |
ç |
4 |
6 |
1 |
2 |
÷ |
ç |
3 |
4 |
2 |
3 |
÷ |
è |
ø |
è |
ø |
де i-й рядок відповідає виробу Pi, а j-й стовпець – j-му тижню. Знайти матрицю сумарних тижневих продажів виробів.
► Сумарні тижневі продажі виробів описуються матрицею
æ2 |
3 |
0 |
5ö |
æ1 |
4 |
3 |
2ö |
æ3 |
7 3 |
7ö |
||||||
T = A + B = ç |
|
|
|
|
÷ + ç |
|
|
|
|
÷ = ç |
|
|
|
÷. < |
||
ç |
4 |
6 |
1 |
2 |
÷ |
ç |
3 |
4 |
2 |
3 |
÷ |
ç |
7 |
10 3 |
5 |
÷ |
è |
ø |
è |
ø |
è |
ø |
Приклад 1.26. Нехай підприємство випускає 3 види виробів: P1, P2, P3 і при цьому використовує 4 види сировини: S1, S2, S3, S4 (табл. 1.1).
Потрібно знайти:
·кількість сировини, що затрачається на виробництво усіх видів продукції;
·загальну вартість сировини;
·сумарний прибуток від реалізації продукції.
|
|
|
|
Таблиця 1.1 |
|
|
Кількість сировини, що затрачається |
|
Вартість |
||
Вид сировини |
на виробництво одиниці продукції Pj |
|
|||
|
одиниці |
||||
|
|
|
|
|
сировини |
|
P1 |
P2 |
P3 |
|
|
|
|
|
|||
S1 |
2 |
1 |
3 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
S 2 |
4 |
5 |
2 |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
S3 |
3 |
4 |
6 |
|
40 |
S4 |
6 |
3 |
5 |
|
10 |
Прибуток від реалізації |
10 |
15 |
30 |
|
– |
одиниці продукції Pj |
|
||||
|
|
|
|
|
|
План виробництва |
20 |
25 |
30 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
► Позначимо bi (i = 1, 2, 3, 4) – запас сировини Si; di – вартість одиниці сировини Si; xj ( j = 1, 2, 3) – кількість одиниць продукції Pj, яка запланована до виробництва; aij – кількість одиниць сировини Si, яка потрібна для виготовлення одиниці продукції Pj; Cj – прибуток від реалізації одиниці продукції Pj.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
22