- •Долгіх, В. М.
- •1. МАТРИЦІ Й ВИЗНАЧНИКИ
- •1.1. МАТРИЦІ. ВИДИ МАТРИЦЬ
- •Види матриць
- •Деякі властивості добутку матриць
- •Властивості транспонування матриці
- •1.3. ВИЗНАЧНИКИ
- •Властивості визначників
- •1.4. ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ
- •Обчислення оберненої матриці методом елементарних перетворень
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •Обчислення рангу матриць методом елементарних перетворень
- •Поняття про лінійну залежність і незалежність рядків матриці
- •1.6. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 1.1
- •Таблиця 1.2
- •Таблиця 1.3
- •Питання для самоперевірки
- •1.7. Вправи
- •2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •2.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •2.2. СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛІ
- •Схема дослідження систем
- •2.3. МЕТОД ГАУССА (метод послідовного виключення невідомих)
- •2.4. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА (метод повного виключення невідомих)
- •2.5. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ОДНОРІДНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •Однорідні системи n-го порядку (n рівнянь із n невідомими)
- •2.6. СИСТЕМИ n ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ n НЕВІДОМИМИ
- •2.6.1. Матричний метод розв’язування систем (метод оберненої матриці)
- •2.6.2. Розв’язування систем методом Крамера
- •2.7. ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЧИСЛА МАТРИЦІ
- •2.8. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 2.1
- •Таблиця 2.2
- •Питання для самоперевірки
- •2.9. Вправи
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Таблиця 2.5
- •3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
- •3.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •3.3. ЛІНІЙНА НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ
- •3.4. БАЗИС. РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА ЗА БАЗИСОМ
- •Лінійні операції над векторами в координатній формі
- •3.5. АФІННА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •3.6. ПРОЕКЦІЯ ВЕКТОРА НА ВІСЬ
- •3.7. ВЕКТОРИ В ОРТОНОРМОВАНОМУ БАЗИСІ. ДЕКАРТОВА ПРЯМОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •Лінійні операції над векторами в базисі
- •3.8. НАПРЯМНІ КОСИНУСИ ВЕКТОРА
- •3.9. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Геометричні властивості скалярного добутку
- •Скалярний добуток в ортонормованому базисі
- •Деякі важливі формули
- •3.11. ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості векторного добутку
- •Геометричні властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в ортонормованому базисі
- •3.12. МІШАНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Основна алгебраїчна властивість мішаного добутку
- •Геометричні властивості мішаного добутку
- •Мішаний добуток в ортонормованому базисі
- •Лінійні операції над векторами
- •3.13.2. Лінійна незалежність векторів. Базис і координати
- •3.13.3. Евклідів n-вимірний простір En
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Кут між векторами в евклідовому просторі En
- •Таблиця 3.1
- •Питання для самоперевірки
- •3.14. Вправи
- •4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1. СИСТЕМИ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1.1. Декартова прямокутна система координат
- •4.1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки
- •4.1.3. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення осей
- •4.2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •Параметричні рівняння лінії
- •Таблиця 4.1
- •Лінія в полярних координатах
- •Таблиця 4.2
- •4.3. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
- •4.3.1. Різні форми рівнянь прямої
- •Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих
- •4.3.3. Нормальне рівняння прямої
- •Ознаки нормального рівняння
- •4.3.4. Відстань від точки до прямої
- •4.3.5. Приклади розв’язування задач
- •4.3.6. Приклади застосування лінійної залежності в економіці
- •Лінійна залежність між витратами й обсягом виробництва продукції
- •Питання для самоперевірки
- •4.3.7. Вправи
- •4.4. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ
- •4.4.1. Основні поняття
- •4.4.2. Коло
- •4.4.4. Гіпербола
- •4.4.6. Криві другого порядку. Узагальнення
- •Питання для самоперевірки
- •4.4.7. Вправи
- •5. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
- •5.1. ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ R3
- •5.1.1. Різні форми рівнянь площини
- •Ознаки нормального рівняння
- •5.1.2. Відхилення та відстань точки від площини
- •5.1.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин
- •5.1.4. Приклади розв’язування задач
- •5.2. ПРЯМА У ПРОСТОРІ R3
- •5.2.1. Різні форми рівнянь прямої
- •5.2.3. Відстань від точки до прямої у просторі R3
- •5.2.4. Відстань між паралельними прямими у просторі R3
- •5.2.5. Відстань між перехресними прямими у просторі R3
- •Умови паралельності й перпендикулярності прямої та площини
- •Питання для самоперевірки
- •5.2.7. Вправи
- •5.3. АЛГЕБРАЇЧНІ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
- •5.3.1. Загальне рівняння поверхні другого порядку
- •5.3.2. Еліпсоїд. Сфера
- •5.3.3. Однопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.4. Двопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.5. Конус другого порядку
- •5.3.6. Еліптичний параболоїд
- •5.3.7. Гіперболічний параболоїд
- •5.3.8. Циліндри
- •Питання для самоперевірки
- •5.3.9. Вправи
- •СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
3.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
Вектор AB – це напрямлений відрізок із початком у точціА і кінцем у точціВ. Вектори позначаються як двома великими літерами,
|
|
|
|
|
|
|
r |
так і однією малою зі стрілкою, наприклад, AB, a (рис. 3.1). |
|||||||
|
|
|
B |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r |
a |
|
b |
|
|
|
AB |
a |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
c |
|
A |
|
|
r |
r |
r |
||
|
|
|
|
|
a |
= b = c |
|
Рис. 3.1. Зображення |
|
Рис. 3.2. Рівні вектори |
|||||
й позначення векторів |
|
|
|
||||
Довжину (модуль) вектора AB позначають | AB | . |
|||||||
Якщо |
|
r |
|
|
|
|
r |
|
a |
= 0, то вектор називають нульовим і позначають 0. |
|||||
Якщо |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
=1, то вектор a називають одиничним, або ортом. |
Вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних |
прямих, |
|
називаються колінеарними. Колінеарність позначають символом ||: |
r |
r |
a |
|| b. |
Вектори, які паралельні одній площині, називаються компла-
нарними.
Вектори називають рівними, якщо вони мають однакові довжини та однакові напрями (рис. 3.2).
3.2.ЛІНІЙНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ВЕКТОРАМИ
ВГЕОМЕТРИЧНІЙ ФОРМІ
r
la (l > 0)
r a
r
la (l < 0)
Рис. 3.3. Множення вектора на скаляр
|
|
|
r |
на |
|
Добутком вектора a |
|||
число |
λ |
називається |
вектор |
|
v |
r |
|
r |
r |
b = la |
з довжиною | b |=| l |
|| a | |
||
і |
напрямом, |
який збігається з |
||
|
|
|
r |
|
напрямом вектора a при λ > 0, |
||||
|
|
|
r |
при |
і протилежним напряму a |
λ < 0 (рис. 3.3).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
49
r |
r |
r |
r |
Сумою векторів a і b |
називається вектор c |
= a |
+ b , початок яко- |
r
го збігається з початком вектора a , а кінець - з кінцем вектора b за
r
умови, що початок вектора b збігається з кінцем вектора a (правило
трикутника (рис. 3.4)). Вектор |
r |
r |
r |
c |
= a |
+ b є діагоналлю паралелограма, |
r
побудованого на векторах a і b (правило паралелограма). Додавання кількох векторів здійснюється за правилом замикання ланцюжка векторів (правило многокутника (рис. 3.5)).
Правило паралелограма |
Правило трикутника |
Правило многокутника |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
c |
|
|
a |
r |
r |
r |
b |
|
r |
|
|
|
|
|||
|
r r |
|
r |
r |
r |
r |
|
||||||
|
c |
= a |
+ b |
|
a |
r |
|||||||
|
r |
|
|
|
c |
= a |
+ b |
a |
+ b + c |
+ d |
|||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
Рис. 3.4. Додавання двох векторів |
Рис. 3.5. Додавання |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кількох векторів |
|
|||
|
|
|
|
|
r |
називається сума вектора a й век- |
|||||||
Різницею двох векторів a і b |
|||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
тора (-b ), протилежного вектору b (рис. 3.6):
rr
|
|
a – b = a + (– b ). |
|
|
(3.1) |
|||
|
r |
r |
r |
a |
a |
r |
r |
r |
|
c |
= a - b |
c |
= a |
- b |
|||
|
r |
|
|
r |
|
r |
|
|
- b |
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
Рис. 3.6. Різниця двох векторів |
|
||||||
3.3. ЛІНІЙНА НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ |
||||||||
|
r |
r |
|
r |
|
c1 , c2 , ..., cn – числа, назива- |
||
Вираз виду c1a1 + c2 a |
2 + ... + cn an , де |
|||||||
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
ється лінійною комбінацією векторів a1 |
, a2 , ..., an . |
|
|
|||||
r |
r |
r |
називаються лінійно незалежними, якщо їх |
|||||
Вектори a1 |
, a2 , ..., an |
лінійна комбінація дорівнює нулю тільки тоді, коли c1 = c2 =…= cn = 0:
r |
r |
r r |
(3.2) |
c1a1 |
+ c2a2 |
+... + cn an = 0 Û c1 = c2 = ... = cn = 0. |
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
50