- •Долгіх, В. М.
- •1. МАТРИЦІ Й ВИЗНАЧНИКИ
- •1.1. МАТРИЦІ. ВИДИ МАТРИЦЬ
- •Види матриць
- •Деякі властивості добутку матриць
- •Властивості транспонування матриці
- •1.3. ВИЗНАЧНИКИ
- •Властивості визначників
- •1.4. ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ
- •Обчислення оберненої матриці методом елементарних перетворень
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •Обчислення рангу матриць методом елементарних перетворень
- •Поняття про лінійну залежність і незалежність рядків матриці
- •1.6. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 1.1
- •Таблиця 1.2
- •Таблиця 1.3
- •Питання для самоперевірки
- •1.7. Вправи
- •2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •2.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •2.2. СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛІ
- •Схема дослідження систем
- •2.3. МЕТОД ГАУССА (метод послідовного виключення невідомих)
- •2.4. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА (метод повного виключення невідомих)
- •2.5. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ОДНОРІДНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •Однорідні системи n-го порядку (n рівнянь із n невідомими)
- •2.6. СИСТЕМИ n ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ n НЕВІДОМИМИ
- •2.6.1. Матричний метод розв’язування систем (метод оберненої матриці)
- •2.6.2. Розв’язування систем методом Крамера
- •2.7. ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЧИСЛА МАТРИЦІ
- •2.8. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 2.1
- •Таблиця 2.2
- •Питання для самоперевірки
- •2.9. Вправи
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Таблиця 2.5
- •3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
- •3.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •3.3. ЛІНІЙНА НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ
- •3.4. БАЗИС. РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА ЗА БАЗИСОМ
- •Лінійні операції над векторами в координатній формі
- •3.5. АФІННА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •3.6. ПРОЕКЦІЯ ВЕКТОРА НА ВІСЬ
- •3.7. ВЕКТОРИ В ОРТОНОРМОВАНОМУ БАЗИСІ. ДЕКАРТОВА ПРЯМОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •Лінійні операції над векторами в базисі
- •3.8. НАПРЯМНІ КОСИНУСИ ВЕКТОРА
- •3.9. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Геометричні властивості скалярного добутку
- •Скалярний добуток в ортонормованому базисі
- •Деякі важливі формули
- •3.11. ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості векторного добутку
- •Геометричні властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в ортонормованому базисі
- •3.12. МІШАНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Основна алгебраїчна властивість мішаного добутку
- •Геометричні властивості мішаного добутку
- •Мішаний добуток в ортонормованому базисі
- •Лінійні операції над векторами
- •3.13.2. Лінійна незалежність векторів. Базис і координати
- •3.13.3. Евклідів n-вимірний простір En
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Кут між векторами в евклідовому просторі En
- •Таблиця 3.1
- •Питання для самоперевірки
- •3.14. Вправи
- •4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1. СИСТЕМИ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1.1. Декартова прямокутна система координат
- •4.1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки
- •4.1.3. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення осей
- •4.2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •Параметричні рівняння лінії
- •Таблиця 4.1
- •Лінія в полярних координатах
- •Таблиця 4.2
- •4.3. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
- •4.3.1. Різні форми рівнянь прямої
- •Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих
- •4.3.3. Нормальне рівняння прямої
- •Ознаки нормального рівняння
- •4.3.4. Відстань від точки до прямої
- •4.3.5. Приклади розв’язування задач
- •4.3.6. Приклади застосування лінійної залежності в економіці
- •Лінійна залежність між витратами й обсягом виробництва продукції
- •Питання для самоперевірки
- •4.3.7. Вправи
- •4.4. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ
- •4.4.1. Основні поняття
- •4.4.2. Коло
- •4.4.4. Гіпербола
- •4.4.6. Криві другого порядку. Узагальнення
- •Питання для самоперевірки
- •4.4.7. Вправи
- •5. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
- •5.1. ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ R3
- •5.1.1. Різні форми рівнянь площини
- •Ознаки нормального рівняння
- •5.1.2. Відхилення та відстань точки від площини
- •5.1.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин
- •5.1.4. Приклади розв’язування задач
- •5.2. ПРЯМА У ПРОСТОРІ R3
- •5.2.1. Різні форми рівнянь прямої
- •5.2.3. Відстань від точки до прямої у просторі R3
- •5.2.4. Відстань між паралельними прямими у просторі R3
- •5.2.5. Відстань між перехресними прямими у просторі R3
- •Умови паралельності й перпендикулярності прямої та площини
- •Питання для самоперевірки
- •5.2.7. Вправи
- •5.3. АЛГЕБРАЇЧНІ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
- •5.3.1. Загальне рівняння поверхні другого порядку
- •5.3.2. Еліпсоїд. Сфера
- •5.3.3. Однопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.4. Двопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.5. Конус другого порядку
- •5.3.6. Еліптичний параболоїд
- •5.3.7. Гіперболічний параболоїд
- •5.3.8. Циліндри
- •Питання для самоперевірки
- •5.3.9. Вправи
- •СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
Лінійні операції над векторами
r
Добутком вектора x = (x1, x2 , ..., xn ) на число l називається вектор
|
r |
= (lx1, lx2 , ..., lxn ). |
|
|
(3.37) |
||
|
lx |
|
|
||||
Сумою (різницею) векторів |
r |
, ..., xn ) і |
r |
= ( y1, y2 , ..., yn ) |
|||
x = (x1, x2 |
y |
||||||
називається вектор |
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
± y1, x2 |
± y2 , ..., xn |
± yn ). |
|
(3.38) |
x |
± y = (x1 |
|
Множина всіх п-вимірних векторів, для яких введені операції додавання й множення на дійсне число, називається п-вимірним лінійним векторним простором і позначається Rп.
Якщо y = lx, |
то вектори y і x вважаються колінеарними. |
Приклад 3.17. |
Дано вектори x = (1, 0, 4, - 3, 5) і y = (2, - 7, 0, 8, 1). |
Знайти: x + y, x - y, 2x + 3y.
►x + y = (1, 0, 4, - 3, 5) + (2, - 7, 0, 8, 1) =
=(1 + 2, 0 - 7, 4 + 0, - 3 + 8, 5 +1) = (3, - 7, 4, 5, 6),
x- y = (1, 0, 4, - 3, 5) - (2, - 7, 0, 8, 1) =
=(1 - 2, 0 - (-7), 4 - 0, - 3 - 8, 5 -1) = (-1, 7, 4, -11, 4), 2x + 3y = 2(1, 0, 4, - 3, 5) + 3(2, - 7, 0, 8, 1) =
=(2, 0, 8, - 6, 10) + (6, - 21, 0, 24, 3) = (8, - 21, 8, 18, 13). <
3.13.2. Лінійна незалежність векторів. Базис і координати
r |
r |
r |
називаються лінійно незалежними, якщо їх |
Вектори a1 |
, a2 |
, ..., an |
лінійна комбінація дорівнює нулю тільки тоді, коли c1 = c2 =…= cn = 0:
|
r |
r |
|
r |
r |
Û |
c1 = c2 = ... = cn = 0. |
|
|||||
|
c1a1 |
+ c2 a2 |
+ ... + cn an |
= 0 |
|
||||||||
|
Якщо хоча б одне із чиселсk ¹ |
|
|
|
|
r |
r |
r |
назива- |
||||
|
0, то вектори a1 |
, a2 |
, ..., an |
||||||||||
ються лінійно залежними. |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
Система |
векторів a1 = (a11, a21 |
, ..., an1 ), |
a2 = (a12 , a22 , ..., an2 ), ..., |
|||||||||
an |
= (a1n , a2n , ..., ann ) |
є лінійно незалежною, якщо визначник |
|
||||||||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
D = |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
¹ 0 |
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
an |
an2 |
... |
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і лінійно залежною, якщо D = 0.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
65