2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
2.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
Система m лінійних алгебраїчних рівнянь ізn невідомими x1, x2, …, xn має вигляд:
|
|
ì a11 x1 |
+ a12 x2 |
+ ... + a1n xn |
= b1 , |
|||||||||
|
|
ï |
|
|
+ a22 x2 |
+ ... + a2 n xn |
= b2 , |
|||||||
|
|
ï a21 x1 |
||||||||||||
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï .......... .......... .......... .......... |
|
|||||||||||
|
|
ïa |
m1 |
x |
+ a |
m 2 |
x |
2 |
+ ... + a |
mn |
x |
n |
= b |
, |
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
m |
|||||
де aij |
- |
задані коефіцієнти при невідомих; |
|
|||||||||||
bi |
- |
вільні члени системи. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Система (2.1) називається однорідною, якщо b1 = b2 = ... = bm неоднорідною, якщо хоча б одне з чисел bi не дорівнює нулю.
Систему (2.1) можна записати у матричній формі:
A × X = B,
де A – матриця коефіцієнтів при невідомих; X – матриця-стовпець невідомих;
B – матриця-стовпець вільних членів:
(2.1)
= 0 і
(2.2)
|
æ a |
|
a |
|
... |
a |
1n |
ö |
|
æ |
x |
|
ö |
|
æ |
b |
ö |
|
|
ç |
11 |
|
12 |
|
|
÷ |
|
ç |
|
1 |
÷ |
|
ç |
1 |
÷ |
(2.3) |
|
A = |
ç a 21 |
a 22 |
... |
a 2 n ÷ |
X = |
ç x 2 |
÷ |
B = |
ç b2 |
÷ |
||||||||
ç |
|
... |
... |
... |
÷, |
ç |
|
|
÷, |
ç |
|
÷. |
|
|||||
|
ç ... |
÷ |
|
ç ... |
÷ |
|
ç ... |
÷ |
|
|||||||||
|
ç |
|
a m 2 |
... |
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
÷ |
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
è a m1 |
a mn ø |
|
è x n |
ø |
|
è bm ø |
|
||||||||||
Розв’язком системи (2.1) називається |
така сукупність чиселx1, |
x2, …, xn, яка перетворює у тотожність кожне рівняння системи. |
|
Система називається сумісною, якщо |
вона має хоча б один |
розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.
Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.
Повну інформацію про систему містить її розширена матриця A :
|
|
|
æ a |
a |
... |
a |
|
b |
ö |
|
|||
|
|
|
ç |
11 |
|
12 |
|
|
1n |
|
1 |
÷ |
|
|
|
= ( A | B) = |
ç a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
b2 |
÷. |
(2.4) |
|||
A |
|||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
... ... |
|
... |
÷ |
|
||
|
|
|
ç ... ... |
|
÷ |
|
|||||||
|
|
|
ça |
|
a |
|
... |
a |
|
|
b |
÷ |
|
|
|
|
è |
m1 |
|
m 2 |
|
|
mn |
|
m |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
30