- •Долгіх, В. М.
- •1. МАТРИЦІ Й ВИЗНАЧНИКИ
- •1.1. МАТРИЦІ. ВИДИ МАТРИЦЬ
- •Види матриць
- •Деякі властивості добутку матриць
- •Властивості транспонування матриці
- •1.3. ВИЗНАЧНИКИ
- •Властивості визначників
- •1.4. ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ
- •Обчислення оберненої матриці методом елементарних перетворень
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •Обчислення рангу матриць методом елементарних перетворень
- •Поняття про лінійну залежність і незалежність рядків матриці
- •1.6. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 1.1
- •Таблиця 1.2
- •Таблиця 1.3
- •Питання для самоперевірки
- •1.7. Вправи
- •2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •2.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •2.2. СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛІ
- •Схема дослідження систем
- •2.3. МЕТОД ГАУССА (метод послідовного виключення невідомих)
- •2.4. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА (метод повного виключення невідомих)
- •2.5. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ОДНОРІДНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •Однорідні системи n-го порядку (n рівнянь із n невідомими)
- •2.6. СИСТЕМИ n ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ n НЕВІДОМИМИ
- •2.6.1. Матричний метод розв’язування систем (метод оберненої матриці)
- •2.6.2. Розв’язування систем методом Крамера
- •2.7. ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЧИСЛА МАТРИЦІ
- •2.8. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 2.1
- •Таблиця 2.2
- •Питання для самоперевірки
- •2.9. Вправи
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Таблиця 2.5
- •3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
- •3.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •3.3. ЛІНІЙНА НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ
- •3.4. БАЗИС. РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА ЗА БАЗИСОМ
- •Лінійні операції над векторами в координатній формі
- •3.5. АФІННА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •3.6. ПРОЕКЦІЯ ВЕКТОРА НА ВІСЬ
- •3.7. ВЕКТОРИ В ОРТОНОРМОВАНОМУ БАЗИСІ. ДЕКАРТОВА ПРЯМОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •Лінійні операції над векторами в базисі
- •3.8. НАПРЯМНІ КОСИНУСИ ВЕКТОРА
- •3.9. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Геометричні властивості скалярного добутку
- •Скалярний добуток в ортонормованому базисі
- •Деякі важливі формули
- •3.11. ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості векторного добутку
- •Геометричні властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в ортонормованому базисі
- •3.12. МІШАНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Основна алгебраїчна властивість мішаного добутку
- •Геометричні властивості мішаного добутку
- •Мішаний добуток в ортонормованому базисі
- •Лінійні операції над векторами
- •3.13.2. Лінійна незалежність векторів. Базис і координати
- •3.13.3. Евклідів n-вимірний простір En
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Кут між векторами в евклідовому просторі En
- •Таблиця 3.1
- •Питання для самоперевірки
- •3.14. Вправи
- •4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1. СИСТЕМИ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1.1. Декартова прямокутна система координат
- •4.1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки
- •4.1.3. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення осей
- •4.2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •Параметричні рівняння лінії
- •Таблиця 4.1
- •Лінія в полярних координатах
- •Таблиця 4.2
- •4.3. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
- •4.3.1. Різні форми рівнянь прямої
- •Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих
- •4.3.3. Нормальне рівняння прямої
- •Ознаки нормального рівняння
- •4.3.4. Відстань від точки до прямої
- •4.3.5. Приклади розв’язування задач
- •4.3.6. Приклади застосування лінійної залежності в економіці
- •Лінійна залежність між витратами й обсягом виробництва продукції
- •Питання для самоперевірки
- •4.3.7. Вправи
- •4.4. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ
- •4.4.1. Основні поняття
- •4.4.2. Коло
- •4.4.4. Гіпербола
- •4.4.6. Криві другого порядку. Узагальнення
- •Питання для самоперевірки
- •4.4.7. Вправи
- •5. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
- •5.1. ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ R3
- •5.1.1. Різні форми рівнянь площини
- •Ознаки нормального рівняння
- •5.1.2. Відхилення та відстань точки від площини
- •5.1.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин
- •5.1.4. Приклади розв’язування задач
- •5.2. ПРЯМА У ПРОСТОРІ R3
- •5.2.1. Різні форми рівнянь прямої
- •5.2.3. Відстань від точки до прямої у просторі R3
- •5.2.4. Відстань між паралельними прямими у просторі R3
- •5.2.5. Відстань між перехресними прямими у просторі R3
- •Умови паралельності й перпендикулярності прямої та площини
- •Питання для самоперевірки
- •5.2.7. Вправи
- •5.3. АЛГЕБРАЇЧНІ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
- •5.3.1. Загальне рівняння поверхні другого порядку
- •5.3.2. Еліпсоїд. Сфера
- •5.3.3. Однопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.4. Двопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.5. Конус другого порядку
- •5.3.6. Еліптичний параболоїд
- •5.3.7. Гіперболічний параболоїд
- •5.3.8. Циліндри
- •Питання для самоперевірки
- •5.3.9. Вправи
- •СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
5.1.2. Відхилення та відстань точки від площини
Відхилення d точки М1(x1, y1, z1) від площини (рис. 5.4), заданої нормальним рівнянням (5.6), обчислюється за формулою:
d = Пр r OM |
1 |
- p = x cosa + y cos b + z cosg - p. |
(5.8) |
||
n |
1 |
1 |
1 |
|
|
Якщо точка й початок координат лежать по один бік від площини, то d < 0, а якщо по різні боки, то d > 0.
Відстань від точки М1(x1, y1, z1) до площини дорівнює |d| і обчислюється за формулами:
·площина задана нормальним рівнянням (5.6):
d = x1 cosa + y1 cos b + z1 cosg - p ; (5.9)
· |
площина задана |
загальним - рів |
||||||||||
|
нянням (5.3): |
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 5.4 |
|
d |
|
= |
|
Ax1 + By1 + Cz1 |
+ D |
|
|
. (5.10) |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 + C 2 |
|||||
|
|
|
||||||||||
Зауваження. Розташування точок М1(x1, y1, z1) і М2(x2, y2, z2) відносно площини Ах + Ву + Сz + D = 0 можна з’ясувати за знаками їх відхилень від площини або за знаками виразівАх1 + Ву1 + Сz1 + D і Ах2 + Ву2 + Сz2 + D. Якщо знаки однакові, то точки лежать по один бік від площини, а якщо знаки різні – по різні боки.
5.1.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин
Нехай задані дві площини:
r
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Þ n1 = ( A1, B1, C1 );
r
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Þ n2 = ( A2 , B2 , C2 ).
Косинус гострого кута j між площинами:
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
A1 A2 |
+ B1B2 + C1C2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cosj = |
|
n1 |
× n2 |
|
= |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
r |
× |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n1 |
n2 |
|
|
|
A2 |
+ B2 |
+ C 2 |
|
A2 |
+ B2 |
+ C 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
||||
Умови паралельності площин, заданих рівняннями (5.11):
A1 = B1 = C1 .
A2 B2 C2
Умова перпендикулярності площин:
A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
106
5.1.4. Приклади розв’язування задач
Приклад 5.1. Знайти кут між площинамиx + 
2 y + z -1 = 0 і x + 
2 y - z + 3 = 0.
► За формулою (5.12) знайдемо косинус гострого кута між площинами:
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1×1 + 2 × 2 +1× (-1) |
|
|
|
1 |
|
p |
|
||||||||||||
cosj = |
n1 |
× n2 |
|
= |
|
|
|
|
= |
Þ j = |
. < |
||||||||||||||
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
||||||||||||
|
n1 |
n2 |
|
|
12 + ( 2)2 + 12 12 + ( 2)2 + (-1)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Приклад 5.2. Знайти рівняння площини, що проходить через точку
М0(1, 3, –2) паралельно площині 2х + 5у + 3z + 1 = 0.
► Оскільки площини паралельні, то їхні вектори нормалей колінеарні, тому як вектор нормалі до площини можна взяти довільний
r
вектор, що пропорційний вектору нормалі до даної площини n = (2, 5, 3),
r
зокрема і сам вектор n . За формулою (5.2):
2(x -1) + 5( y - 3) + 3(z + 2) = 0 Þ 2x + 5 y + 3z -11 = 0. <
Приклад 5.3. Знайти рівняння площини, що проходить через точку М0(1, 3, –2) перпендикулярно до двох непаралельних площин x + 2 y + z - 3 = 0, 2x - y - 4z +1 = 0.
► Шукана площина перпендикулярна до двох непаралельних площин, тому її вектор нормалі перпендикулярний одночасно до двох векторів нормалей даних площин і може бути взятий у вигляді:
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
r |
= |
i |
j |
k |
r |
|
2 |
1 |
|
r |
|
1 |
1 |
|
r |
|
1 |
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n = n1 |
´ n2 |
= i |
|
- 1 |
- 4 |
|
- j |
|
2 |
- 4 |
|
+ k |
|
2 |
- 1 |
|
|||||
|
|
|
2 |
- 1 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= -7i + 6 j - 5k .
За формулою (5.2) знаходимо рівняння шуканої площини:
- 7(x -1) + 6( y - 3) - 5(z + 2) = 0 Þ - 7x + 6 y - 5z - 21 = 0. <
Приклад 5.4. Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки М1(1, 2, 3) і М2(2, 3, –2) перпендикулярно до площини x + 2 y + z - 3 = 0.
► Вектор нормалі площини, який перпендикулярний одночасно
до |
вектора M1M 2 |
= (1, 1, - 5) |
|
і |
вектора |
нормалі даної площини |
|||
r |
= (1, 2, 1), може бути взятий у вигляді: |
|
|
||||||
n1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
r |
r |
|
i |
j |
k |
r |
r r |
|
|
= |
1 1 |
- 5 |
||||||
|
n = M |
1 M 2 ´ n1 |
= 11i - 6 j + k . |
||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
107