2.2. СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛІ

Теорема Кронекера-Капеллі: для того, щоб система (2.1)

була сумісною, необхідно й достатньо, щоб ранг матриці А дорівнював рангу розширеної матриці A, тобто r(A) = r( A )

Схема дослідження систем

1)якщо r(A) ¹ r( A ) - система несумісна;

2)якщо r(A) = r( A ) = r - система сумісна, причому:

·при r = n (ранг дорівнює кількості невідомих) система має єдиний розв’язок;

·при r < n система має безліч розв’язків. Базисні невідомі, коефіцієнти при яких увійшли в базисний мінор, виражаються лінійно через інші (вільні) невідомі.

Частинним розв’язком системи рівнянь називається розв’язок, в якому всім вільним невідомим задані конкретні числові значення.

Базисним розв’язком системи рівнянь називається розв’язок, в якому всі вільні невідомі дорівнюють нулю.

Фундаментальним розв’язком системи рівнянь називається розв’-я зок, в якому одна вільна невідома дорівнює одиниці, а всі інші вільні невідомі дорівнюють нулю.

2.3. МЕТОД ГАУССА (метод послідовного виключення невідомих)

Метод Гаусса складається з прямого й зворотного ходу.

1. Прямий хід. Припустимо що a11 ¹ 0 (якщо це не так, то переставимо рівняння системи так, щоб a11 ¹ 0). З першого рівняння системи виразимо зміннуx1 через інші змінні і підставимо 2,у 3,…, m-те рівняння. У результаті змінна x1 виключиться з усіх рівнянь, крім першого.

Потім із другого рівняння виразимо зміннуx2 через x3, x4, …, xn і підставимо у 3, 4,…, m-те рівняння. У результаті змінна x2 виключиться з усіх рівнянь, крім першого та другого.

Аналогічно виключимо змінну x3 із 4, 5, …, m-го рівнянь та ін.

У процесі виключення змінних можуть з’явитися рівняння вигляду:

Рівняння (2.5) слід відкинути, тому що його задовольняє будьякий набір невідомих. Рівняння (2.6) свідчить про несумісність системи, тому що жоден набір невідомих не задовольняє таке рівняння.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

31

Якщо в процесі виключення невідомих не зустрінеться рівняння вигляду (2.6), то система сумісна. При цьому отримаємо еквівалентну систему трикутного (2.7) чи трапецієподібного (2.8) вигляду.

Система (2.7) має єдиний розв’язок, а (2.8) – безліч розв’язків.

2. Зворотний хід. Системи (2.7), (2.8) розв’язують, починаючи з останнього рівняння. У системі (2.7) визначається xn і підставляється в 1, 2, ..., (n - 1) рівняння. Потім із передостаннього рівняння визначається xn – 1 і підставляється в 1, 2, ..., (n - 2) рівняння тощо.

У системі (2.8) базисні невідомі x1, x2, …, xr визначаються через вільні невідомі xr + 1, xr + 2, …, xn, які можна задавати довільно.

Зауваження. При розв’язанні систем методом Гаусса елементарним перетворенням підлягають рядки розширеної матриці. У процесі прямого ходу обертають у нуль елементи матриці, розташовані під головною діагоналлю (спочатку по першому стовпцю, потім - по другому тощо). У процесі зворотного ходу обертають у нуль елементи,

розташовані над головною діагоналлю, починаючи з останнього стов-

пця для системи (2.7) і зі стовпця з номером r для системи (2.8). Потім обертають у нуль елементи в попередньому стовпці та ін.

Приклад 2.1. Методом Гаусса розв’язати систему:

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

32

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

33

При c3 = c4 = c5 = 1 отримаємо один із частинних розв’язків: x1 = 27, x2 = -11, x3 = 1, x4 = 1, x5 = 1.

При c3 = c4 = c5 = 0 отримаємо базисний розв’язок: x1 = -19, x2 = -7, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0.

Якщо в загальному розв’язку почергово одну зі сталихc3, c4, c5 прирівняти одиниці, а інші – нулю, то отримаємо фундаментальну си-

стему розв’язків:

X1T = (-33 - 2 1 0 0), X 2T = (-14 - 9 0 1 0), X 3T = (-2 -14 0 0 1). <

2.4. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА (метод повного виключення невідомих)

У методі Жордана-Гаусса зміннаx1 виключається з усіх рівнянь, крім 1-го, змінна x2 виключається з усіх рівнянь, крім 2-го, змінна x3 виключається з усіх рівнянь, крім 3-го тощо. У результаті в розширеній матриці одночасно обертаються у нуль елементи, розташовані над і під головною діагоналлю. Як і в методі Гаусса, рівняння (2.5) слід відкинути, а рівняння (2.6) свідчать про несумісність системи.

Приклад 2.5. Методом Жордана-Гаусса розв’язати систему:

ìx1 + 2x2 - x3 + x4 = 6,

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

34