2.5. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ОДНОРІДНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Розглянемо систему лінійних однорідних рівнянь:

ì a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n = 0,

Однорідні системи завжди сумісні, оскільки існує так званий тривіальний розв’язок х1 = х2 =…= хn = 0. Якщо в однорідній системі r(A) = n, то система має лише тривіальний розв’язок, а якщо r(A) < n, то, крім тривіального, система має безліч нетривіальних розв’язків. Систему (2.9) можна розв’язувати методами Гаусса й Жордана-Гаусса.

Приклад 2.6. Розв’язати методом Гаусса систему:

де С – довільна стала. <

Приклад 2.7. Розв’язати методом Жордана-Гаусса систему:

Ранг матриці A дорівнює кількості невідомих: r(A) = 3 = n – система має єдиний (тривіальний) розв’язок: x1 = x2 = x3 = 0. <

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

35

Однорідні системи n-го порядку (n рівнянь із n невідомими)

Якщо визначник матриці коефіцієнтів при невідомихD(A) ¹ 0, то однорідна система має лише тривіальний розв’язок х1 = х2 =…= хn = 0.

Приклад 2.8. ► Обчислимо визначник матриці коефіцієнтів при невідомих системи, розглянутий у прикладі 2.7:

система має лише тривіальний розв’язок х1 = х2 = х3 = 0. <

Теорема. Для того щоб існував нетривіальний розв’язок однорідної системи (2.9) при m = n, необхідно й достатньо, щоб визначник D(A) = 0

ïî3x1 - 2x2 + 3x3 = 0.

► Обчислимо визначник матриці коефіцієнтів при невідомих:

1 3 -1

D( A) = 2 - 5 4 = -15 + 36 + 4 - (15 +18 - 8) = 0. 3 - 2 3

Система має безліч розв’язків. Мінор другого порядку, складений з коефіцієнтів при x1, x2, відмінний від нуля:

тому перші два рівняння є лінійно незалежними, змінні x1, x2 – базисні, x3 – вільна. Розв’яжемо ці рівняння:

де С – довільна стала. <

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

36