Лінійна алгебра Розв’язання прикладів

Приклад 1. Для матриць:

знайти матриці А+В, А^Т ,С²,АВ, ВА.

Розв’язання.

Помічаємо, що .

Завдання для самостійного розв’язку

Приклад 2. Для матриць

обчислити 2А^Т -3В, АВ+Е, АВ-С.

Відповідь:

Приклад 3. Для матриць

обчислити 2В -3С, А(В+С), ВС^Т+А² .

Відповідь:

Приклад 4. Для матриць

обчислити 4А-3В+С, А^Т+В^Т, АВ, ВА, ВС+А².

Відповідь:

Розв’язання прикладів

Приклад 5. Обчислити визначники

а) б) в)

Розв'язування. Будемо обчислювати задані визначники за формулами

а) б)

_в)

Приклад 6. Обчислити визначник четвертого порядку

Розв’язання. У цьому визначнику елементи другого рядка мають спільний множник 2, а елементи четвертого рядка - спільний множник 3. Винесемо ці множники за знак визначника:

У першому рядку зробимо всі елементи, крім останнього, нулями. Для цього до першого стовпика додамо четвертий, помножений на -5, до другого - четвертий, помножений на 2, до третього - четвертий, помножений на -3. Матимемо:

_{Розкладемо останній визначник за елементами першого рядка:}

_{У другому стовпчику - 9 замінюємо на 0. Для цього до другого рядка додамо третій, помножений на 9.}

_{Розкладемо останній визначник за елементами другого стовпчика:}

Завдання для самостійного розв’язку

Приклад 7. Обчислити визначники:

Відповідь: а) 6; б) 7; в) -2; г) 31; д) -2; е) 30; ж) -44; з) 0; і) 14.

Приклад 8. Обчислити визначник матриці, яка є добутком двох даних матриць:

а) б)

в) г)

Відповідь: -340, 20, 55, 0.

Розв’язання прикладів

Приклад 9. Знайти ранг матриць:

а) б)

Розв’язання. Ранг матриці будемо знаходити методом елементарних перетворень.

а) Зробимо такі перетворення, щоб нижче головної діагоналі були нулі:

Звідси випливає, що r(A) = 2 (нижче головної діагоналі – нулі та два елемента головної діагоналі ≠ 0).

б) Перетворимо матрицю аналогічно попередньому

_{Звідси випливає, що r(A) = 2.}

Приклади для самостійного розв’язку

Приклад 10. Знайти ранг матриці

а) б) в) г)

Відповідь: а) 2; б) 2; в) 2; г) 3.

Розв’язання прикладів

Приклад 11. Знайти матрицю обернену до матриці

а) б) в)

Розв’язання. а) Обчислюємо визначник матриці А

Для запису оберненої матриці A^-1 знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

Отже,

б) Обчислюємо визначник матриці В

Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці В:

Отже,

в) Обчислюємо визначник матриці С

Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці С

Отже,

Перевірка:

Приклад 12. Розв’язати матричне рівняння

а) б)

Розв’язання.

а) Позначимо матриці

Отримаємо рівняння AX = B, де X=A^-1B

Знайдемо матрицю А^-1 : det A =

Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці А

Тоді

_{Для перевірки підставимо знайдену матрицю в це рівняння}

Отже

б) Позначимо матриці

Отримаємо рівняння YC = D, де Y = DC ^-1

Знайдемо матрицю С ^-1 : det С =

Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці С

Тоді

_{Для перевірки підставимо знайдену матрицю в це рівняння}

Отже