Зауваження. Загальне рівняння прямої (4.16) і рівняння з кутовим коефіцієнтом (4.21) є “стандартними” формами запису рівнянь прямої, в яких вона задається і до яких зводяться інші рівняння.
4.3.2.Кут між двома прямими. Умови паралельності
йперпендикулярності двох прямих
1)прямі задані загальними рівняннями:
r |
= ( A1 |
, B1 ); |
A1 x + B1 y + D1 = 0, Þ n1 |
||
r |
|
(4.22) |
A2 x + B2 y + D2 = 0, Þ n2 |
= ( A2 , B2 ). |
|
Косинус гострого кута a між прямими:
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
A1 A2 + B1B2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cosa = |
|
n1 |
× n2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
; |
(4.23) |
|||||||
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n1 |
|
× |
|
n2 |
|
|
|
|
A12 + B12 |
A22 + B22 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2) прямі задані рівняннями: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = k1 x + b1 , |
|
y = k2 x + b2 . |
(4.24) |
||||||||
|
|
|
|
Тангенс кута a між прямими (рис. 4.16): |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tga = |
k2 - k1 |
. |
(4.25) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ k k |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||
Рис. 4.16
Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих
Умови паралельності прямих, що задані рівняннями (4.22), (4.24):
|
A1 |
= |
B1 |
, |
k1 |
= k 2. |
(4.26) |
|
A2 |
|
|||||
|
|
B2 |
|
|
|
||
Умови перпендикулярності двох прямих: |
(4.27) |
||||||
A1 × A2 + B1 × B2 |
= 0, |
k2 = -1 / k1. |
|||||
4.3.3. Нормальне рівняння прямої |
|
||||||
|
|
|
|
|
Нормальне рівняння прямої: |
|
|
|
|
|
|
|
|
x cosa + y sin a - p = 0, |
(4.28) |
де p – відстань від початку координат до прямої;
n0 = (cosα, sina) - одиничний вектор
нормалі (рис. 4.17).
Рис. 4.17
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
81