ì x |
|
= |
D1 |
||
|
|
|
|||
ï 1 |
|
|
D |
||
í |
|
|
|
||
|
|
|
D1 |
||
ïx |
2 |
= |
|||
D |
|||||
î |
|
|
|
||
= 7 - 7 x3 |
, |
ìx |
ï 1 |
||
|
або |
íx2 |
= 6 x3 - 4, |
ï |
|
î x3 |
||
=7 - 7c,
=6c - 4, де с - довільна стала. <
=c,
Зауваження. При розв’язуванні методом Крамера систем вище 3-го порядку доводиться виконувати значно більшу кількість арифметичних операцій, ніж у методах Гаусса й Жордана-Гаусса.
2.7. ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЧИСЛА МАТРИЦІ
Нехай маємо квадратну матрицю A і матрицю (вектор)-стовпець X:
|
æ a |
a |
... |
a |
ö |
|
æ x1 |
ö |
|
ç 11 |
12 |
|
1n ÷ |
|
ç |
÷ |
|
A = |
ça21 |
a22 |
... |
a2n ÷ |
X = |
ç x2 ÷ |
||
ç |
... |
... |
... |
÷, |
ç |
÷. |
||
|
ç ... |
÷ |
|
ç ... |
÷ |
|||
|
ç |
an2 |
... |
|
÷ |
|
ç |
÷ |
|
èan1 |
ann ø |
|
è xn |
ø |
|||
Ненульовий вектор X називається власним вектором матриці A, якщо існує таке число l (власне число матриці), що
|
|
|
|
|
|
|
AX = lX. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.14) |
|
Матричне рівняння (2.14) запишемо у вигляді |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( A - lE) X = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
||
або в розгорнутому вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ì(a |
|
- l)x |
+ |
a |
x |
2 |
+ ... |
+ |
|
a |
|
x |
n |
|
= |
0, |
|
|
ï 11 |
1 |
|
12 |
|
+ ... |
|
|
1n |
|
|
|
0, |
|
|||||
ï |
a21x1 |
+ |
(a22 - l)x2 |
+ |
|
a2n xn |
|
= |
(2.16) |
|||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï ................ ... ................. ... ... ... .................. ... ... |
|
|||||||||||||||||
ï |
a |
x |
+ |
a |
n2 |
x |
+ ... |
+ |
(a |
nn |
- l)x |
n |
= |
0. |
|
|||
î |
|
n1 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для |
|
того |
|
щоб |
|
однорідна |
система(2.16) |
мала |
ненульовий |
|||||||||
розв’язок, необхідно й достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю:
|
(a11 - l) |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
det( A - lE) = |
a21 |
(a22 - l) |
... |
a2n |
= 0. |
(2.17) |
|
... |
... |
... |
... |
||||
|
|
|
|||||
|
an1 |
an2 |
... |
(ann - l) |
|
|
Визначник det(A - lE) є многочленом степеня n відносно l. Він називається характеристичним многочленом матриці , Арівняння (2.17) - характеристичним рівнянням, а його корені - власними чис-
лами матриці А. Всього існує n власних чисел, серед яких можуть бути рівні. Кожному власному числу відповідає свій власний вектор, який
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
40