Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тернопольский национальный технический университет им. И. Пулюя

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища математика1 / Dolhikh_011.pdf

Скачиваний:

130

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 5047 48 49 50 > Следующая >>>

27. Знайти точку N, симетричну точці A(4; 1; 6) відносно прямої

ìx - y - 4z +12 = 0,

î2x + y - 2z + 3 = 0.

28.Знайти точку N, симетричну точці A(2; – 5; 7) відносно прямої, яка проходить через точки B(5; 4; 6) і C(– 2; – 17; – 8).

29.Знайти точку N, симетричну точці М(1; 2; 3) відносно площини

х+ у + 2z – 6 = 0.

30.Обчислити відстань від точки М(1; – 1; – 2) до прямої

x + 3 = y + 2 = z - 8 .
3	2	- 2

31. Довести паралельність прямих і знайти відстань між ними:

x -1		y +1		z		ì	x + y - z = 0,
	=		=		і	í
3
		- 2 1				îx - y - 5z - 8 = 0.

32. Знайти відстань між прямими:

ì x + y - z -1 = 0,		i	ì x + 2 y - z - 2 = 0,
í	= 0		í	= 0.
î2x + y - z - 2			îx + 2 y + 2z + 4

5.3. АЛГЕБРАЇЧНІ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

5.3.1. Загальне рівняння поверхні другого порядку

Поверхнею другого порядку називається множина точок простору R3, координати котрих задовольняють алгебраїчне рівняння другого степеня

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Eyz + 2Fxz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, (5.32)

де хоча б один із коефіцієнтів A, B, C, D, E, F відмінний від нуля.

Це рівняння може визначати сферу, еліпсоїд, гіперболоїд (однопорожнинний або двопорожнинний), параболоїд (еліптичний або гіперболічний), конус, циліндр (еліптичний, гіперболічний або параболічний), а також вироджену поверхню другого порядку(порожню множину, точку, площину, пару площин).

За допомогою паралельного переносу й повороту системи координат рівняння (5.32) можна звести до канонічного вигляду.

Форму поверхонь вивчають методом перерізів. Для цього перетинають поверхню площинами, паралельними координатним площинам, і визначають тип кривої, що виходить при цьому перетині.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

117

5.3.2. Еліпсоїд. Сфера

		Канонічне					рівняння еліпсоїда
з півосями a, b, c (рис. 5.10):
	x2	+	y 2	+	z 2	=1	(a, b, c > 0).(5.33)
	a2		b2
					c2

При a = b = c = R рівняння (5.33) перетворюється в рівняння сфери з центром у початку координат і радіусом R:

Рис. 5.10. Еліпсоїд	x2	+ y2 + z 2	= R 2.	(5.34)
Рис. 5.10. Еліпсоїд

Рівняння сфери з центром у точці M0(x0, y0, z0) і радіусом R:

(x - x0 )2 + ( y - y0 )2 + (z - z0 )2 = R 2.

(5.35)

5.3.3. Однопорожнинний гіперболоїд

Канонічне рівняння однопорожнинного гіперболоїда

x2 + y2 - z2 a2 b2 c2

Рис. 5.11.

Однопорожнинний

гіперболоїд

=1 (a, b, c > 0).								(5.36)
Поверхня				симетрична				відносно
координатних				площин xOz				і yOz.
Початок координат є центром симе-
трії (рис. 5.11).
Перерізи				поверхні (5.36) пло-
щинами х = 0, y = 0 є гіперболами:
	y 2	-	z 2	=1,	x2	-	z 2	=1.
	b2		c2		a2		c2

Переріз поверхні площиною z = h є еліпсом

x2	+	y2	=1+	h2	= H2 Þ	x2	+	y2	=1.
a2		b2		c2		(aH)2		(bH)2

Однопорожнинний гіперболоїд належить до лінійчатих поверхонь. Він може бути побудований за -до помогою двох систем прямих ліній.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

118

5.3.4. Двопорожнинний гіперболоїд

Канонічне рівняння двопорожнинного гіперболоїда:

-	x2	-	y2	+	z 2	= 1 (a, b, c > 0).	(5.37)
	a2		b2		c2

Поверхня симетрична відносно координатних осей і координатних площин. Центр симетрії знаходиться у початку координат (рис. 5.12).

Перерізи поверхні площинами х = 0 і y = 0 є гіперболами:

-	y2	+	z 2	=1	(b, c > 0); -	x2	+	z 2	= 1 (a, c > 0).
	b2		c2			a2		c2

5.3.5. Конус другого порядку

Конічною поверхнею називається поверхня, яку описує пряма (твірна), що проходить через фіксовану точкуS (вершину конуса) і змінну точку M, яка рухається уздовж кривої (напрямної конічної поверхні). Якщо напрямною конічної поверхні є крива другого порядку, то поверхня називається конусом другого порядку.

Канонічне рівняння еліптичного конуса другого порядку:

z 2

= 0

(a, b, c > 0).

(5.38)

Поверхня симетрична відносно координатних осей і координатних

площин. Центр симетрії знаходиться у початку координат (рис. 5.13).

Перерізи конуса

площинамих

= 0 і y = 0 є

прямими:

y = ±bz / c, x = ±az / c. Перерізи поверхні площинами z = h є еліпсами:

y 2

(H 2 =

(aH )2

(bH )2

Рис. 5.12. Двопорожнинний	Рис. 5.13. Еліптичний конус
гіперболоїд	другого порядку

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

119

Рівняння еліптичних конічних поверхонь другого порядку, осі яких співпадають з осями Ox, Oy, мають вигляд:

	параболоїд			у = 0 є параболами:
	параболоїд					y2	= 2qz, x2			= 2 pz.
- x2	+ y2	+ z 2 = 0	(a, b, c > 0),		x2	- y2	+ z 2		= 0	(a, b, c > 0). (5.39)
a2	b2	c2			a2	b2		c2
			5.3.6. Еліптичний параболоїд
				Канонічне рівняння еліптичного пара-
				болоїда:		x2		y2
						p	+	q	= 2z	( p, q > 0).	(5.40)
				Поверхня симетрична відносно коорди-
				натних площин xOz, yOz і вісі Oz (рис. 5.14).
Рис. 5.14. Еліптичний				Перерізи			поверхні			площинамих	= 0,
Рис. 5.14. Еліптичний

Перерізи поверхні площинами z = h > 0 є еліпсами:

	x 2				y 2
			+				= 1.
(		)2		(		)2
	2 ph				2qh

5.3.7. Гіперболічний параболоїд

Рівняння гіперболічного параболоїда:

	x 2		y 2			(5.41)
		-		= 2 z	( p , q > 0 ) .

	p		q
Поверхня симетрична			відносно		координатних	площинxOz, yOz
(рис. 5.15).

Рис. 5.15. Гіперболічний параболоїд

1. У перерізі поверхні площиноюx = 0 одержуємо параболу: y2 = -2qz. Вітки параболи направлені вниз.

2. У перерізі поверхні площиноюy = 0 одержуємо параболу: x2 = 2 pz. Вітки параболи направлені нагору.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

120

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 5047 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вища математика1

#
05.03.2016240.72 Кб17Algoritm.pdf
#
05.03.20161.02 Mб130Dolhikh_011.pdf
#
05.03.2016786.43 Кб49LinAlzadachi.doc
#
05.03.20161.59 Mб27lin_alg_1k2s.pdf
#
05.03.2016300.34 Кб21metod_matem_1.pdf
#
05.03.20163.85 Mб444КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З КУРСУ.docx

5.3. АЛГЕБРАЇЧНІ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

5.3.1. Загальне рівняння поверхні другого порядку

5.3.2. Еліпсоїд. Сфера

5.3.3. Однопорожнинний гіперболоїд

5.3.4. Двопорожнинний гіперболоїд

5.3.5. Конус другого порядку

5.3.6. Еліптичний параболоїд

5.3.7. Гіперболічний параболоїд