6.Транспонування матриці – перехід від матриці Аm´n до матриці АTn´m, в якій рядки й стовпці помінялися місцями зі збереженням порядку їх слідування, наприклад, якщо

Рівність (AB)T = BTAT виконується. <

1.3. ВИЗНАЧНИКИ

Квадратній матриці Аn´n можна поставити у відповідністьчисло-

ву характеристику – визначник (детермінант) n-го порядку. Визнач-

ник позначають так: | A |, ∆(А), ∆, ∆n, det(A) і записують у вигляді

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

11

Мінором Мik елемента aik називається визначник (n - 1)-го поряд-

ку, отриманий із визначника n-го порядку викреслюванням i-го рядка

Теорема Лапласа: визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення

n

· ∆(А) = åaij Aij – розклад визначника за елементами i-го рядка;

j=1 n

· ∆(А) = åaij Aij – розклад визначника за елементами j-го стовпця.

i =1

Визначник першого порядку: ∆1(А) =│a11│= a11. Визначник другого порядку:

Формулу (1.5) можна записати символічно у вигляді правила трикутника (правила Саррюса):

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

12

Властивості визначників

1. При транспонуванні визначник не змінюється:

D( A) = D( AT ).

Приклад 1.8. Обчислимо визначники:

2.Якщо всі елементи деякого рядка(стовпця) визначника дорівню-

ють 0, то det(A) = 0.

3.Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника помножити на число λ, то і визначник помножиться на це число.

Наслідок: спільний множник усіх елементів рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

Приклад 1.9. Обчислимо визначник: D = 2 8 = 2 ×15 - 3 ×8 = 6. 3 15

Винесемо за знак визначника спільні множники для елементів першого та другого рядків (2 і 3 відповідно) і обчислимо визначник:

D= 2 ×31 4 = 6(1×5 -1× 4) = 6.

15

4.При перестановці двох рядків (стовпців) визначник змінює знак.

Приклад 1.10. Обчислимо визначники:

5.Визначник, що має однакові рядки (стовпці), дорівнює 0.

6.Визначник, що має пропорційні рядки (стовпці), дорівнює 0.

Приклад 1.11. Обчислимо визначник із пропорційними рядками:

D = 1 3 = 1× 6 - 2 ×3 = 0.

26

7.Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка(стовпця) дорівнює 0:

n

åaik Ajk = 0 (i ¹ j).

k = 1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

13

Приклад 1.12. Обчислимо суму добутків елементів 1-го рядка визна-

=(2 ×5 - 4 ×3) - 2(1×5 - (-1) ×3) + 3(1× 4 - (-1) × 2) = -2 -16 +18 = 0.

8.Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка(стовпця), помножені на одне і те саме число.

Приклад 1.13. За формулою трикутника обчислимо визначник:

1 2 3

D = -1 4 5 =1×4 ×1+ 2 ×5 ×0 + (-1) ×1×3 - (0 ×4 ×3 + 2 ×(-1) ×1+1×5×1) =1- 3 = -2.

0 1 1

Додамо до елементів першого рядка відповідні елементи третього рядка, помножені на 2 і обчислимо цей визначник:

1 4 5

D1 = -1 4 5 =1×4×1+ 4 ×5×0 + (-1) ×1×5 - (0×4 ×5 + 4 ×(-1) ×1+1×5×1) = -1-1 = -2. 0 1 1

Визначники співпадають: D = D1.

9.Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників: C = A × B Þ │C│=│A│×│B│.

Приклад 1.14. Обчислити визначник матриці C = A × B, якщо

C= - 5 19 = -5 ×43 - (-11) ×19 = -215 + 209 = -6.

-11 43

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

14

Обчислимо визначники матриць A, B і застосуємо властивість 9:

10.Визначник діагональної чи трикутної матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

Приклад 1.15. За формулою трикутника обчислимо визначник:

Зауваження 1. При обчисленні визначника доцільно одержати в рядку (стовпці) значну кількість нулів, а потім розкласти його за елементами цього рядка (стовпця) або перетворити визначник до трикутного вигляду і застосувати властивість (10).

Зауваження 2. Для наочності виду перетворень визначника позначимо i-й рядок - ei. Тоді запис e2/2 означає ділення кожного елемен-

та 2-го рядка на2 (при цьому за знак визначника виноситься множник 2), запис e2 - 2e1 означає, що з кожного елемента 2-го ряд-

ка необхідно відняти відповідні елементи 1-го рядка, помножені на 2.

1 2 3

2) розкладом за елементами 2-го стовпця, що містить 0:

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

15

3) розкладом за елементами 1-го стовпця з одержанням у ньому нулів:

4) зведенням визначника до трикутного вигляду:

Зауваження. Правило трикутника (1.5) застосовується лише для обчислення визначників третього порядку, а способи 2-4 - для обчислення визначників будь-якого порядку. Спосіб 2 дозволяє звести обчислення одного визначника n-го порядку до обчисленняn визначників (n – 1)-го порядку, а спосіб 3 – до обчислення одного визначника (n – 1)-го порядку. Найбільш економічним для обчислення визначників порядку n > 3 є спосіб 4.

Приклад 1.17. Обчислити визначник 4-го порядку:

2 1 1 8

1 - 3 - 6 9 .

0 2 2 - 5

1 4 6 0

►Обчислимо визначник трьома способами:

1)розкладом за елементами 1-го стовпця, що містить 0:

-[0 - 20+96-(64-30+0)]-[30+18- 48-(-96+18+15)] = 27;

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

16