Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тернопольский национальный технический университет им. И. Пулюя

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища математика1 / Dolhikh_011.pdf

Скачиваний:

130

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5044 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

За формулою (5.2) знаходимо рівняння площини, що проходить через точку М1(1, 2, 3) перпендикулярно до вектора n = (11, - 6, 1):

11(x -1) - 6( y - 2) + (z - 3) = 0 Þ 11x - 6 y + z - 2 = 0. <

5.2. ПРЯМА У ПРОСТОРІ R3

Пряма у просторі фіксується, якщо відомі:

1)точка на прямій і вектор, паралельний прямій;

2)дві точки на прямій;

3)дві непаралельні площини, що містять дану пряму.

5.2.1. Різні форми рівнянь прямої

Нехай пряма проходить через задану точкуМ0(х0, у0, z0) парале-

льно заданому вектору a = (l, m, n) (рис.

5.5). Вектор a називається

напрямним вектором прямої.

1. Векторне рівняння прямої у просторі:

- ¥ < t

< +¥,

(5.15)

- r0

= ta,

де t - скалярний множник(параметр);

r , r0 - радіуси-вектори довільної точки М(х, у, z) і точки М0.

2. Параметричні рівняння прямої:

ì x - x0 = lt,

- y0 = mt, -¥ < t < +¥.

(5.16)

íy

- z0 = nt,

î z

3. Канонічні рівняння прямої:

x - x0

y - y0

z - z0

(5.17)

Рис. 5.5

4. Рівняння

прямої, що

проходить

через

дві

задані

точки

М1(х1, у1, z1), M2(х2, у2, z2):

x - x1

y - y1

z - z1

(5.18)

x2 - x1

y2 - y1

z2 - z1

Зауваження. У рівняннях (5.17), (5.18) одна або дві координати

напрямного вектора можуть дорівнювати нулю.

Приклад 5.5. Рівняння

x + 1

y - 2

задають пряму, що прохо-

дить через точку M0(–1, 2; 0) паралельно вектору a = (3; 0; 1).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

108

Приклад 5.6. Рівняння x - 1 = y + 2 = z - 3 задають пряму, що

1 0 0

проходить через точку M0(1; -2; 3) паралельно вектору a (паралельно осі Ox).

5. Пряма як лінія перетину двох площин.

Розглянемо систему, складену із рівнянь двох площин:

ìíA1x + B1 y + C1z + D1 = 0, îA2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

= (1; 0; 0)

(5.19)

r	Якщо	площини		непаралельні(координати	векторів	нормалей
	= (A1, B1	, C1 ),	r	, B2 , C2 ) непропорційні),	то систему	рівнянь
n1			n2 = ( A2
(5.19) називають загальними рівняннями прямої.
	Для того щоб перейти від загальних рівнянь(5.19) до канонічних

рівнянь прямої (5.17), необхідно знайти точку М0(x0, y0, z0), що нале-

жить прямій, і напрямний		r		дві точки на
		вектор a прямої або знайти
прямій і скористатися рівняннями (5.18).
Для знаходження точки на прямій можна довільно задати одну із
її координат, наприклад,	задати z = z0, а дві інші		координатих0, у0
знайти із системи (5.19). r		повинен бути перпендикулярним до векто-
Напрямний вектор a
r	r	r	r	r
рів нормалей площин n1, n2		, отже, можна прийняти a	= n1	´ n2 .
Приклад 5.7. Пряма задана рівняннями
	ì	x + 2 y - z +1 = 0,		(5.20)
	í
	î- x + y + 2z -1 = 0.

Потрібно записати її канонічні та параметричні рівняння.

► Із системи рівнянь (5.20) при z0 = 0 знаходимо x0 = –1, y0 = 0. Знайдемо напрямний вектор прямої і запишемо її канонічні рівняння:

r r

x +1

a = n1

´ n2

1 2

-1

= 5i + j + 3k ,

-1

Позначимо через t величину частки в канонічних рівняннях і ви-

разимо через t координати x, y,

z довільної точки прямої. У результаті

отримаємо параметричні рівняння прямої:

x +1

ìx = 5t -1,

= t

y = t,

(-¥ < t < +¥). <

z = t

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

109

r a2

5.2.2. Кут між двома прямими в просторі.

Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих

Нехай дані дві

прямі

з напрямними векторамиa = (l , m , n ),

= (l2 , m2 , n2 ). Косинус гострого кута j між прямими:

l1l2

+ m1m2

+ n1n2

cosj =

× a2

(5.21)

l12 + m12 + n12 l22 + m22 + n22

Умови паралельності прямих:

(5.22)

Умова перпендикулярності прямих:

l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0.

(5.23)

5.2.3. Відстань від точки до прямої у просторі R3

Відстань від точки M1(x1, y1, z1) до прямої

x - x	0		y - y	0		z - z	0		r	= (l, m, n)
		=			=			Þ	a
l			m			n

r a

L M0

Рис. 5.6

дорівнює висоті h трикутника, побудованого

r	= (l, m, n) і
на векторах a	= (l, m, n) і
M 0 M1 = (x1 - x0 ,			y1 - y0 , z1 - z0 ) (рис. 5.6),
та обчислюється за формулою:
		M	0 M		r
					r
h =					1 ´ a	.	(5.24)
h =				r		.	(5.24)
				a

5.2.4. Відстань між паралельними прямими у просторі R3

Відстань між паралельними прямими

x - x

y - y

z - z

= (l, m, n),

x - x

y - y

z - z

= (l

, m

, n )= la

= l(l,

n )

r a1

L2 h

r a

L1 M0

дорівнює висоті h паралелограма, побу-

r	= (l, m, n) і
дованого на векторах a

M 0 M1 = (x1 - x0 , y1 - y0 , z1 - z0 )

(рис. 5.7), та обчислюється за формулою:

	M	0 M		r
h =	M	0 M		1 ´ a	.	(5.25)
h =			r		.	(5.25)
			a

Рис. 5.7

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

110

5.2.5. Відстань між перехресними прямими у просторі R3

r	L1
a1
M1
h
M0	r
M0	a
Рис. 5.8

Відстань між перехресними прямими

x - x

y - y

z - z

= (l, m, n),

Þ a

x - x

y - y

z - z

Þ a

= (l

, m , n )¹ la

дорівнює

висоті h паралелепіпеда,

побу-

дованого

на

= (l1 , m1 , n1 ),

векторахa1

= (l, m, n),

M 0 M 1 = (x1 - x0 , y1 - y0 , z1 - z0 )

(рис. 5.8) та обчислюється за формулою:

	r	r
h =	(a	´ a1 ) × M 0 M1			.	(5.26)
h =			r	r	.	(5.26)
			a	´ a1

5.2.6.Кут між прямою та площиною. Умови паралельності

йперпендикулярності прямої та площини

Нехай дані пряма

x - x

y - y

z - z

a = (l, m, n)

(5.27)

і площина

Ax + By + Cz + D = 0 Þ

(5.28)

n = ( A, B, C).

Синус гострого кута j між прямою

площиною

дорівнює

косинусу

кутаq

між напрямним вектором a прямої і век-

тором нормалі n до площини (рис. 5.9):

sinj = cosq =

× a

(5.29)

Рис. 5.9

Al + Bm + Cn

A2 + B 2 + C 2

l 2 + m2 + n2

Умови паралельності й перпендикулярності прямої та площини

Умова паралельності прямої (5.27) і площини (5.28):
Al + Bm + Cn = 0.							(5.30)
Умови перпендикулярності прямої (5.27) і площини (5.28):
	A	=	B	=	C	.	(5.31)

	l m n

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

111

Зауваження. Щоб знайти точку перетину прямої(5.27) з площиною (5.28), необхідно розв’язати систему, складену з їх рівнянь.

Приклад 5.8. Знайти	точку перетину прямої		x -1	=	y +1	=	z - 2
					2
з площиною 2x + 3y + 4z - 7 = 0.		5				3

► Перетворимо	канонічні рівняння	прямої			у	параметричні
x = 5t +1, y = 2t -1, z = 3t + 2 і підставимо їх у рівняння площини:
2(5t +1) + 3(2t -1) + 4(3t + 2) - 7 = 0		Þ t = 0.

Координати точки перетину прямої з площиною:

x = 5t +1 = 5 × 0 +1 = 1, y = 2t -1 = 2 ×0 -1 = -1, z = 3t + 2 = 3 × 0 + 2 = 2. <

Приклад 5.9. У просторі задані чотири точкиA1(–1, 2, 3), A2(2, 0, 2),

A3(3, -2, 4), A4(5, 1, –1).

Необхідно:

1)скласти канонічні рівняння прямих A1A2 і A1A3;

2)знайти кут між цими прямими;

3)скласти рівняння площин A1A2A3 і A1A2A4;

4)визначити кут між цими площинами;

5)знайти рівняння прямої, що проходить через точкуA4 паралельно прямій A1A2;

6)знайти кут між прямою A1A3 і площиною A1A2A4;

7)знайти довжину та рівняння висоти піраміди, опущеної з точки A4 на площину A1 A2 A3 ;

8)знайти відстань від точки A3 до прямої A1A2.

1.► Рівняння прямих A1A2 і A1A3 знайдемо за формулою (5.18):

A1A2:

x - x1

y - y1

z - z1

x +1

y - 2

z - 3

x +1

y - 2

z - 3

;

- y

- z

- x

2 +

1 0 - 2 2 - 3

- 2

-1

A1A3:

x - x1

y - y1

z - z1

x +1

y - 2

z - 3

x +1

y - 2

z - 3

- x

- y

- z

3 +1

- 2 - 2 4 - 3

- 4

2. За формулою (5.21) знаходимо

кут між

двома

прямими(кут

між

- 2, -1),

направляючими векторами a1 = (3,

a2 = (4, - 4, 1)):

3×4 -2×(-4) -1×1|

cosj =

| a1 ×a2 |

» 0,884.

| a1 | ×| a2

32 +(-2)2 + (-1)2

42 +(-4)2 +12

462

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

112

3. Рівняння

площин A1A2A3

і A1A2A4

складаємо як рівняння площин,

що проходять через три задані точки (5.4):

A1A2A3:

x +1

y - 2 z - 3

= 0 Þ 6x + 7y + 4z – 20 = 0.

-2

-1

-4

A1A2A4:

x +1

y-2 z -3

=0 Þ 7x + 6y + 9z – 32 = 0.

-2

-1

-4

4. Кут між площинами A1A2A3 і A1A2A4 визначаємо як кут між норма-

лями до них n1 = (6, 7, 4),

n2 = (7, 6, 9) (див. формулу (5.12)):

| 6

× 7 + 7 × 6 + 4 × 9 |

120

cosy =

| n1

× n2

» 0,927 .

6 2 + 7 2 + 4 2

7 2

+ 6 2 + 9 2

16766

5. Рівняння

прямої,

що проходить

через

точкуA4

паралельно пря-

= A1 A2 = (3, - 2,

-1) ):

мій A1A2 (паралельно вектору a1

x - x4

y - y4

z - z4

x - 5

y - 1

z + 1

- 2

- 1

6.Кут між прямою A1A3 і площиною A1A2A4 визначимо за формулою

(5.29):

=(4, -4, 1)ü

| 4×7-4×6+1×9|

sina =

| a

×n

ìa2

»0,176..

=í r

ý=

î n2 =(7, 6, 9) þ

| a2 |×| n2 |

166

5478

7. Довжину

висоти

піраміди, опущеної

точкиA4

на площину

A1 A2 A3 (відстань від точки A4 до площини A1A2A3), обчислюємо за

формулою (5.10):

d =

6 × 5 + 7 ×1 + 4 × (-1) - 20

» 1,294.

62 + 72 + 42

101

Рівняння висоти (прямої, що проходить через точку A паралель-

но вектору нормалі n1 = (6, 7, 4) до площини A1 A2 A3 ):

x - 5

y -1

z + 1

8. Відстань від точки A3

до прямої A1A2

знайдемо за формулою (5.24)

h =

A1 A3 ´ a1

- 4 1

= 6i + 7 j + 4k ,

- 2

-1

62 + 72 + 42

h =

101

» 2,686. <

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

113

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5044 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вища математика1

#
05.03.2016240.72 Кб17Algoritm.pdf
#
05.03.20161.02 Mб130Dolhikh_011.pdf
#
05.03.2016786.43 Кб49LinAlzadachi.doc
#
05.03.20161.59 Mб27lin_alg_1k2s.pdf
#
05.03.2016300.34 Кб21metod_matem_1.pdf
#
05.03.20163.85 Mб444КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З КУРСУ.docx