- •Долгіх, В. М.
- •1. МАТРИЦІ Й ВИЗНАЧНИКИ
- •1.1. МАТРИЦІ. ВИДИ МАТРИЦЬ
- •Види матриць
- •Деякі властивості добутку матриць
- •Властивості транспонування матриці
- •1.3. ВИЗНАЧНИКИ
- •Властивості визначників
- •1.4. ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ
- •Обчислення оберненої матриці методом елементарних перетворень
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •1.5. РАНГ МАТРИЦІ
- •Обчислення рангу матриць методом елементарних перетворень
- •Поняття про лінійну залежність і незалежність рядків матриці
- •1.6. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 1.1
- •Таблиця 1.2
- •Таблиця 1.3
- •Питання для самоперевірки
- •1.7. Вправи
- •2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •2.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •2.2. СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛІ
- •Схема дослідження систем
- •2.3. МЕТОД ГАУССА (метод послідовного виключення невідомих)
- •2.4. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА (метод повного виключення невідомих)
- •2.5. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ОДНОРІДНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
- •Однорідні системи n-го порядку (n рівнянь із n невідомими)
- •2.6. СИСТЕМИ n ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ n НЕВІДОМИМИ
- •2.6.1. Матричний метод розв’язування систем (метод оберненої матриці)
- •2.6.2. Розв’язування систем методом Крамера
- •2.7. ВЛАСНІ ВЕКТОРИ ТА ВЛАСНІ ЧИСЛА МАТРИЦІ
- •2.8. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ В ЕКОНОМІЦІ
- •Таблиця 2.1
- •Таблиця 2.2
- •Питання для самоперевірки
- •2.9. Вправи
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Таблиця 2.5
- •3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
- •3.1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •3.3. ЛІНІЙНА НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ
- •3.4. БАЗИС. РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА ЗА БАЗИСОМ
- •Лінійні операції над векторами в координатній формі
- •3.5. АФІННА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •3.6. ПРОЕКЦІЯ ВЕКТОРА НА ВІСЬ
- •3.7. ВЕКТОРИ В ОРТОНОРМОВАНОМУ БАЗИСІ. ДЕКАРТОВА ПРЯМОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- •Лінійні операції над векторами в базисі
- •3.8. НАПРЯМНІ КОСИНУСИ ВЕКТОРА
- •3.9. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Геометричні властивості скалярного добутку
- •Скалярний добуток в ортонормованому базисі
- •Деякі важливі формули
- •3.11. ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Алгебраїчні властивості векторного добутку
- •Геометричні властивості векторного добутку
- •Векторний добуток в ортонормованому базисі
- •3.12. МІШАНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
- •Основна алгебраїчна властивість мішаного добутку
- •Геометричні властивості мішаного добутку
- •Мішаний добуток в ортонормованому базисі
- •Лінійні операції над векторами
- •3.13.2. Лінійна незалежність векторів. Базис і координати
- •3.13.3. Евклідів n-вимірний простір En
- •Алгебраїчні властивості скалярного добутку
- •Кут між векторами в евклідовому просторі En
- •Таблиця 3.1
- •Питання для самоперевірки
- •3.14. Вправи
- •4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1. СИСТЕМИ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ
- •4.1.1. Декартова прямокутна система координат
- •4.1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки
- •4.1.3. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення осей
- •4.2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ
- •Параметричні рівняння лінії
- •Таблиця 4.1
- •Лінія в полярних координатах
- •Таблиця 4.2
- •4.3. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
- •4.3.1. Різні форми рівнянь прямої
- •Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих
- •4.3.3. Нормальне рівняння прямої
- •Ознаки нормального рівняння
- •4.3.4. Відстань від точки до прямої
- •4.3.5. Приклади розв’язування задач
- •4.3.6. Приклади застосування лінійної залежності в економіці
- •Лінійна залежність між витратами й обсягом виробництва продукції
- •Питання для самоперевірки
- •4.3.7. Вправи
- •4.4. АЛГЕБРАЇЧНІ ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ
- •4.4.1. Основні поняття
- •4.4.2. Коло
- •4.4.4. Гіпербола
- •4.4.6. Криві другого порядку. Узагальнення
- •Питання для самоперевірки
- •4.4.7. Вправи
- •5. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
- •5.1. ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ R3
- •5.1.1. Різні форми рівнянь площини
- •Ознаки нормального рівняння
- •5.1.2. Відхилення та відстань точки від площини
- •5.1.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин
- •5.1.4. Приклади розв’язування задач
- •5.2. ПРЯМА У ПРОСТОРІ R3
- •5.2.1. Різні форми рівнянь прямої
- •5.2.3. Відстань від точки до прямої у просторі R3
- •5.2.4. Відстань між паралельними прямими у просторі R3
- •5.2.5. Відстань між перехресними прямими у просторі R3
- •Умови паралельності й перпендикулярності прямої та площини
- •Питання для самоперевірки
- •5.2.7. Вправи
- •5.3. АЛГЕБРАЇЧНІ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
- •5.3.1. Загальне рівняння поверхні другого порядку
- •5.3.2. Еліпсоїд. Сфера
- •5.3.3. Однопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.4. Двопорожнинний гіперболоїд
- •5.3.5. Конус другого порядку
- •5.3.6. Еліптичний параболоїд
- •5.3.7. Гіперболічний параболоїд
- •5.3.8. Циліндри
- •Питання для самоперевірки
- •5.3.9. Вправи
- •СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r r |
|
|
|
Лінійні операції над векторами в базисі i , j, k |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
r |
|
r |
Лінійні операції над векторами a |
= ax i + ay j + az k = (ax , ay , az ), |
||||||||
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
b = bx i + by j + bz k = (bx , by , bz ) |
визначаються так: |
|
|
|||||||
|
|
r |
|
r |
r |
r |
|
|
|
(3.10) |
|
|
la |
= lax i + lay j + laz k = (lax , la y , laz ), |
|
||||||
r |
r |
|
r |
|
r |
r |
|
ay ± by , az ± bz ). |
(3.11) |
|
a |
± b = (ax ± bx )i + (ay ± by ) j +(az ± bz )k = (ax ± bx , |
|||||||||
|
Приклад |
3.3. |
Дано |
вектори a = (1, - 2, 4), b = (3, 5, 6). |
Знайти |
|||||
r |
r r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
a |
+ b, a |
- b, 2a - 3b. |
|
|
|
|
|
|
rr
►a + b = (1, - 2, 4) + (3, 5, 6) = (1+ 3, - 2 + 5, 4 + 6) = (4, 3, 10),
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
- b = (1, - 2, 4) - (3, 5, 6) = (1 - 3, - 2 - 5, 4 - 6) = (-2, - 7, - 2), |
||||||||||||
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
- 3b = 2(1, - 2, 4) - 3(3, 5, 6) = (2, - 4, 8) - (9, 15, 18) = (-7, -19, -10).< |
|||||||||||||
|
|
3.8. НАПРЯМНІ КОСИНУСИ ВЕКТОРА |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
Напрямними |
|
|
косинусами |
вектора |
|||||||
|
|
a |
= (ax , ay , az ) називаються косинуси кутів |
|||||||||||
|
|
a, b, g, які утворює вектор з координатни- |
||||||||||||
|
|
ми осями (рис. 3.13): |
ay |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ax |
|
az |
|
|||||||
|
|
|
cosa = |
|
r |
, cosb = |
|
r |
, cosg |
= |
|
r |
. |
(3.12) |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
Напрямні косинуси задовольняють умову: |
||||||||||||
|
|
Рис. 3.13 |
cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. |
(3.13) |
Координати орта вектора є його напрямними косинусами:
r |
|
|
|
r |
|
æ a |
|
|
|
ay |
||||
|
|
a |
|
x |
|
|
||||||||
a |
|
= |
|
|
|
= ç |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
v |
|
|||||
|
0 |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
è |
|
a |
|
|
|
a |
|
|
a |
z |
ö |
= (cosa, cos b, cosg ). |
|
||
, |
|
|
|
÷ |
(3.14) |
||
|
v |
|
|||||
|
|
÷ |
|
|
|||
|
|
a |
ø |
|
|
Приклад 3.4. Чи може вектор складати з координатними осями ку-
ти: a = 45o , b =135o , g = 60o?
► Обчислимо косинуси кутів:
cosa = cos 45o = 2 / 2, cosb = cos 135o = -2 / 2, cosg = cos 60o =1/ 2.
Напрямні косинуси вектора повинні задовольняти умову (3.13):
cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1 / 2 + 1 / 2 + 1 / 4 = 5 / 4 ¹ 1.
Вектор не може складати з координатними осями задані кути. <
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
55
3.9. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ
Координати точки M(x, y, z), яка поділяє відрізок M1M2 у відношенні l = M1M / MM2 (рис. 3.14), визначаються через координати точок M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) за формулами:
M 2 (x2 , y2 , z2 )
λ = M1M / MM2
M (x, y, z)
M 1 (x1 , y1 , z1 )
Рис. 3.14
x = |
x1 + lx2 |
, |
y = |
y1 + ly2 |
, |
|
1 + l |
1 + l |
|||||
|
|
|
|
z = |
z1 + lz2 |
. |
(3.15) |
|
|||
|
1 + l |
|
При l = 1 отримаємо координати середини відрізка M1M2:
x = x1 + x2 , y = y1 + y2 ,
2 |
z1 + z2 |
|
2 |
|
z = |
. |
(3.16) |
||
|
||||
2 |
|
|
Приклад 3.5. Знайти координати точки перетину медіан трикутни-
ка з вершинами A(xA , yA , z A ), B(xB , yB , zB ), |
C(xC , yC , zC ). |
||||||||
► Знайдемо координати точки D - середини відрізка BC: |
|||||||||
xD = |
xB + xC |
, |
yD = |
yB + yC |
, |
z D = |
z B + zC |
. |
|
|
|||||||||
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
Медіани трикутника перетинаються в точціМ, яка поділяє відрізок АD у відношенні l = AM / MD = 2 / 1. Координати точки М:
xM |
= |
xA + lxD |
= |
xA + 2xD |
= |
xA + xB + xC |
, |
yM |
= |
yA + lyD |
= |
y A + yB + yC |
, |
|||||
1 + l |
|
|
|
|
|
1 + l |
|
|||||||||||
|
|
1 + 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
z M |
= |
z A + lz D |
= |
z A + z B + zC |
. < |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 + l |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Приклад 3.6. Знайти координати кінців відрізкаAB, який поділений на 3 рівні частини точками P(1, 0, 3) і Q(–1, 2, 6).
► Точка P є серединою відрізка AQ, тому її координати:
xP |
= |
xA + xQ |
, |
y P |
= |
y A + yQ |
, |
z P |
= |
z A + zQ |
. |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
Звідси знаходимо координати точки A:
xA = 2xP - xQ = 2 ×1 - (-1) = 3, yA = 2 yP - yQ = 2 ×0 - 2 = -2, zA = 2zP - zQ = 2 ×3 - 6 = 0 Þ A(3, - 2, 0).
Аналогічно знаходимо координати точки B:
xB = 2xQ - xP = 2 ×(-1) -1 = -3, yB = 2 yQ - yP = 2 × 2 - 0 = 4, zB = 2zQ - zP = 2 ×6 - 3 = 9 Þ B(-3, 4, 9). <
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
56