4.АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ

Ваналітичній геометрії розв’язуються два основні завдання:

1)скласти рівняння лінії, якщо відомі її геометричні властивості;

2)дослідити форму й властивості лінії, якщо відоме її рівняння.

4.1.СИСТЕМИ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ

4.1.1. Декартова прямокутна система координат

Декартова прямокутна система координат задається двома взаємно перпендикулярними координатними осями: Ox (вісь абсцис) i Oy (вісь ординат), які перетинаються у точці О (початку координат).

Координатами точки М називають координати її радіуса-вектора

r r

OM = xi + yj = (x; y), і записують це так: М(x; y) (рис. 4.1). Число x називається абсцисою, а число y - ординатою точки М.

Відстань між точками M1(x1; y1) і M2(x2; y2) обчислюється за формулою (рис. 4.2):

Приклад 4.1. Знайти відстань між точками M1(1; 2) і M2(5; –1). ► За формулою (4.1) дістанемо:

d = M1M 2 = (x2 - x1)2 + ( y2 - y1 )2 = (5 -1)2 + (-1 - 2)2 = 25 = 5.<

4.1.2. Полярна система координат

Полярна система координат задається точкоюО (полюсом) і променем Оp (полярною віссю), що виходить із цієї точки. Полярними координатами точки М є пара чисел (r; j), де r - відстань від полюса О

до точки М, j - кут між віссю Оp і вектором OM (рис. 4.3). Число r

називається полярним радіусом, j - полярним кутом точки М.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

73

Зауваження. Поворот навколо точки О проти годинникової стрілки вважається додатним. Полярний кут точки має нескінченну множину значень, що відрізняються між собою на величину2pп, де пÎZ. Для головного значення полярного кута 0 £ j < 2p (або -p £ j < p) полярна система встановлює взаємно однозначну відповідність між точками площини й парами чисел(r; j), за винятком точки О, для якої r = 0, а кут j невизначений.

Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки

Декартові координати (х; у) і полярні координати (r, j) точки М (рис. 4.4) пов’язані формулами:

Приклад 4.2. Точка М має полярні координати ρ = 2, φ = π/6. Знайти її декартові координати.

►З формул (4.2) дістанемо:

x= r cosj = 2cos(p / 6) = 2 × 3 / 2 = 3,

y = r sinj = 2sin(p / 6) = 2 ×1/ 2 =1 Þ M (x, y) = M (3, 1). <

Приклад 4.3. Точка М має декартові координатиx = 1, y = 3. Знайти її полярні координати.

► З формул (4.2) дістанемо:

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

74