4.4.7. Вправи

1. Знайти геометричне місце точок, для яких сума відстаней до двох даних точок F1(–3; 0) та F2(3; 0) є величиною сталою, яка дорівнює 10.

2.Знайти геометричне місце точок, для яких відношення відстаней до даної точки F(–4; 0) і даної прямої 4х + 25 = 0 дорівнює 4 / 5.

3.Знайти геометричне місце точок, які розташовані від точкиA(3; 0) удвічі ближче, ніж від прямої х = 12.

4.Скласти рівняння кривої, сума квадратів відстаней від кожної точки якої до точок М1(–3; 0) та M2(3; 0) дорівнює 50.

5.Скласти рівняння еліпса, фокуси якого розташовані на осі абсцис симетрично відносно початку координат, знаючи, що:

а) його півосі дорівнюють 3 та 2; б) його велика вісь дорівнює 10, а відстань між фокусами 2с = 8;

в) його мала вісь дорівнює 20, а відстань між фокусами 2с = 10;

г) відстань між фокусами 2с = 6 та ексцентриситет e = 3 / 5; ґ) його велика вісь дорівнює 20, а ексцентриситет e = 3 / 5.

6.Знайти геометричне місце точок, для яких модуль різниці відстаней від двох даних точок F1(–5; 0) і F2(5; 0) дорівнює 6.

7.Скласти рівняння геометричного місця точок, для яких відношення

відстаней до даної точки F(–5; 0) і даної прямої 5х + 16 = 0 дорів-

нює 5 / 4.

8.Скласти рівняння геометричного місця точок, для яких відстань від точки F(0; 6) у півтора разу більша за відстань від прямої у = 8 / 3.

9.Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від точки М(2; 0) та від кола х2 + 4х + у2 = 0.

10.Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розташовані на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо:

а) відстань між фокусами 2с = 6, ексцентриситет e = 3 / 2;

б) рівняння асимптот y = ±4 x / 3 та відстань між фокусами

2с = 20;

в) відстань між директрисами 68 / 3, відстань між фокусами 2с = 26; г) ексцентриситет e = 3 / 2 та відстань між директрисами дорів-

нює 8 / 3.

а) знайти координати фокусів і ексцентриситет; б) написати рівняння асимптот і директрис;

в) скласти рівняння спряженої гіперболи та обчислити її ексцентриситет.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

102

12.Дано гіперболу 16x2 – 9у2 = 144. Знайти півосі а та b, фокуси, ексцентриситет, рівняння асимптот та директрис.

13.Знайти геометричне місце точок, для яких відстань до даної точки F(3; 0) дорівнює відстані до даної прямої х + 3 = 0.

14.Скласти рівняння геометричного місця точок, відстані яких до даного кола (х – 5)2 + у2 = 9 і даної прямої х + 2 = 0 рівні між собою.

15.Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до осі Ох і

18.Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться у початку координат, знаючи, що парабола розташована симетрично:

а) відносно осі Ох і проходить через точку A(9; 6); б) відносно осі Оу і проходить через точку С(1; 1).

19.Відстань між двома підприємствами, що виробляють однакову продукцію, – 2с км. Транспортні витрати на10 км для першого підприємства – p1, для другого – p2. Знайти межу районів, для яких однаково вигідно купувати продукцію обох підприємств. Розглянути випадки:

а) c = 150, p1 = 2 p2;

б) c = 200, p1 = 2, p2 = 3.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

103