5.В якому випадку однорідна система n рівнянь із n невідомими: а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків; в) не має розв’язків?
6.Чи може система трьох рівнянь із п’ятьма невідомими:
а) мати єдиний розв’язок; б) не мати розв’язків?
7.Чим відрізняється алгоритм Жордана-Гаусса від алгоритма Гаусса?
8.Як при розв’язуванні системи лінійних рівнянь методом Гаусса можна визначити:
а) несумісність системи; б) існування єдиного розв’язку?
2.9.Вправи
1.Розв’язати системи рівнянь двома способами:
а) за формулами Крамера; б) методом оберненої матриці:
ìx1 |
+ 2x2 + 3x3 |
= 5, |
|
ìx1 |
- x2 |
+ 2 x3 + x4 = 3, |
||||||||||
|
ï |
2x2 |
+ 3x3 - x4 |
= 4, |
||||||||||||
ï |
+ 3x2 |
+ 4x3 |
= 6, |
2) |
ï |
|||||||||||
1) íx1 |
í |
2x1 |
- x3 + 5x4 |
= 6, |
||||||||||||
ï 2x - x |
|
- x |
|
=1; |
|
ï |
||||||||||
|
|
|
|
+ x |
|
- x |
|
- x |
|
= 0. |
||||||
î |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
ïx |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
||||
2. Розв’язати системи рівнянь двома способами:
а) методом Гаусса; б) методом Жордана-Гаусса.
|
ì x1 + 2x2 + x3 = 4, |
|
|
ì2 x1 + 7 x 2 + 3 x3 + x4 = 5, |
|||||||
|
|
|
ï |
|
|||||||
1) |
ï |
|
- 5x2 |
|
+ 3x3 = 1, |
|
2) |
ï x1 + 3 x 2 + 5 x3 - 2 x 4 = 3, |
|||
í3x1 |
|
|
í |
|
|||||||
|
ï |
2x |
+ 7 x |
2 |
- x |
3 |
= 8. |
|
|
ï x1 + 5 x 2 - 9 x3 + 8 x 4 = 1, |
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
ï |
5 x1 + 18 x2 + 4 x3 + 5 x4 = 12 . |
|||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
x1 - x2 + x3 - x4 = 4, |
|
ì2 x1 + 3x2 + 11x3 + 5x |
4 = 2, |
|
|||||||||
|
ï |
|
|||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 8, |
|
x1 + x2 + 5 x3 |
+ 2 x4 |
= 1, |
4) |
ï |
|||||||
ï |
í |
2 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 10 x4 = 20 , |
|||||||||
í |
2 x1 + x2 + 3x3 |
+ 2 x4 |
= -3, |
|
ï |
||||||
ï |
|
ï |
2 x1 - 4 x2 + x3 - 6 x4 = 4. |
||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
||
îx1 + x2 + 3x3 + 4 x4 = -3. |
|
|
|
||||||||
3.Дослідити системи рівнянь на сумісність. Для сумісних систем знайдіть загальний розв’язок.
ì x1 - x 2 + x3 - x 4 = -3, |
ì x1 - 2 x |
2 + 3 x3 + x4 = 1, |
|||||
ï |
2 x1 |
- 3 x 2 - 4 x 3 + x 4 = 1, |
ï |
2 x1 + x2 |
+ 7 x3 - x4 |
= 5, |
|
а) í |
б) í |
||||||
ï |
|
+ 7 x3 - 4 x4 = -10 . |
ï |
|
|
+ 2 x3 + 4 x4 |
= 3. |
î x1 |
îx1 - 7 x2 |
|
|||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
46
|
ì x1 + 2 x 2 + 3 x3 - x 4 = 0, |
|
ì x1 + 2 x 2 |
|
- 3 x4 + 2 x5 = 1, |
||||||||||
|
ï |
x1 - x 2 + x3 + 2 x 4 |
= 4, |
|
ï |
|
x1 - x2 - 3 x3 |
+ x 4 - 3 x5 = 2, |
|||||||
в) |
ï |
г) |
ï |
|
|||||||||||
í |
+ 5 x 2 + 5 x3 - 4 x 4 |
= -4, |
í |
2 x1 - 3 x2 + 4 x3 - 5 x 4 + 2 x5 = 7, |
|||||||||||
|
ï x1 |
|
ï |
||||||||||||
|
ï |
+ 8 x 2 + 7 x3 - 7 x4 |
= -8 . |
|
ï |
9 x |
- 9 x |
2 |
+ 6 x |
3 |
- 16 x |
4 |
+ 2 x |
5 |
= 25 . |
|
î x1 |
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
4. Знайти загальний розв’язок систем однорідних рівнянь:
|
ì 2 x1 + x2 - x3 = 0, |
|
|
|
|
|||||||||
а) íï x1 + 2 x2 + x3 = 0, |
|
|
|
б) |
||||||||||
|
ï |
2 x |
- x |
2 |
+ 3 x |
3 |
= 0. |
|
|
|
|
|||
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ì 3 x1 + x 2 - 8 x3 + x 4 = 0, |
|
||||||||||||
|
ï |
2 x1 - 2 x 2 - 3 x3 + 2 x 4 |
= 0, |
|
||||||||||
в) |
ï |
г) |
||||||||||||
í |
x + 11 x |
|
- 12 x |
|
- 5 x |
|
= 0, |
|||||||
|
ï |
2 |
3 |
4 |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ï |
x |
- 5 x |
2 |
+ 2 x |
3 |
+ 3 x |
4 |
|
= 0. |
|
|||
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ì 3 x1 - x 2 + 4 x3 = 0 , |
|||
ï |
- x1 + 5 x 2 |
- x 4 |
= 0 , |
í |
|||
ï |
3 x1 + 4 x 2 |
+ 3 x 4 |
= 0 . |
î |
|||
ìx1 - x 2 + x3 - x 4 = 0,
ï |
x1 |
+ x2 |
+ 2 x3 + 3 x 4 = 0, |
||||||||
ï |
|||||||||||
í |
2 x |
+ 4 x |
2 |
+ 5 x |
3 |
+ 10 x |
4 |
= 0, |
|||
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ï |
2 x |
- 4 x |
2 |
+ x |
3 |
- 6 x |
4 |
= |
0. |
||
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.Визначити значення параметраа, при якому система рівнянь має ненульові розв’язки, і знайдіть їх.
|
ìax |
+ x |
2 |
+ x =1, |
|
ì2 x + x |
2 |
+ 3x |
3 |
= 0, |
|||||
а) |
ï |
1 |
|
|
3 |
|
б) |
ï |
1 |
|
|
||||
íx1 |
|
+ ax2 + x3 =1, |
í4 x1 - x2 + 7 x3 = 0, |
||||||||||||
|
ïx |
|
+ x |
|
+ ax |
|
=1. |
|
ï |
+ ax2 |
+ 2 x3 = 0. |
||||
|
|
2 |
|
|
î x1 |
||||||||||
|
î 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
æ1 4ö
6. Знайти власні числа і власні вектори матриці A = ç ÷.
çè4 1÷ø
7.Підприємство випускає 3 види виробів: P1, P2, P3 і при цьому використовує 3 види сировини: S1, S2, S3. Знайти план виробництва й прибуток від реалізації продукції I ута II кварталах за даними, наведеними в табл. 2.3.
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 2.3 |
|
|
|
Затрати сировини на виробництво |
Кількість сировини |
|||||
Вид сировини |
|
|
одиниці продукції Pj |
по кварталах |
||||
|
|
P1 |
|
P2 |
|
P3 |
І |
ІІ |
S1 |
|
1 |
|
3 |
|
2 |
65 |
70 |
S 2 |
|
2 |
|
4 |
|
5 |
125 |
130 |
S3 |
|
4 |
|
3 |
|
1 |
65 |
120 |
Прибуток від реалізації |
20 |
|
5 |
|
10 |
– |
– |
|
одиниці продукції Pj |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
8. З листового |
матеріалу |
необхідно |
вирізати125 заготовок |
типу S1, |
||||
60 – типу S2 і 55 – типу S3. При цьому використовуються 3 способи
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
47
розкрою. Кількість заготовок і відходів, що вийде з одного листа при кожному способі розкрою, наведено в табл. 2.4. Знайти, скільки листів матеріалу треба розкроїти кожним способом, щоб отримати необхідну кількість заготовок. Визначити сумарну кількість відходів.
|
|
|
|
Таблиця 2.4 |
|
Тип заготовки |
Кількість заготовок при способі розкрою Pj |
Необхідна |
|||
|
|
|
кількість |
||
P |
P |
P |
|||
|
заготовок |
||||
|
1 |
2 |
3 |
||
S1 |
1 |
5 |
3 |
125 |
|
|
|
|
|
|
|
S 2 |
2 |
1 |
4 |
60 |
|
S3 |
3 |
1 |
1 |
55 |
|
Кількість відходів |
10 |
15 |
6 |
– |
|
9.Для виготовлення двох видів виробівA і B фабрика використовує як сировину сталь і кольорові метали. На виготовленні вказаних виробів зайняті токарні і фрезерні верстати. У таблиці 2.5 наведені вихідні дані задачі. Визначити план випуску продукції, знайти прибуток.
|
|
|
Таблиця 2.5 |
|
Види ресурсів |
Норми витрат на один виріб |
Обсяг ресурсів |
||
A |
B |
|||
|
|
|||
Сталь, кг |
10 |
70 |
1 500 |
|
Кольорові метали, кг |
20 |
50 |
1 200 |
|
Токарні верстати, станко-год. |
300 |
400 |
1 100 |
|
Фрезерні верстати, станко-год. |
200 |
100 |
4 000 |
|
Прибуток, тис грн. |
3 |
8 |
_ |
|
10.Галузь складається з чотирьох підприємств. Вектор-стовпець валової продукції X і матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А мають вигляд:
|
æ |
400 |
ö |
|
æ0,25 |
0,10 |
0,24 |
0,25 |
ö |
|
|
ç |
|
÷ |
|
ç |
|
0,15 |
0,36 |
0,17 |
÷ |
X = |
ç300 |
÷ |
A = |
ç0,20 |
÷ |
|||||
ç |
250 |
÷, |
ç |
0,15 |
0,20 |
0,20 |
0,15 |
÷. |
||
|
ç |
÷ |
|
ç |
÷ |
|||||
|
ç |
300 |
÷ |
|
ç |
0,30 |
0,15 |
0,20 |
0,15 |
÷ |
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|||||
Знайти вектор-стовпець обсягів кінцевої продукції Y.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
48