r

r

r

d

æ

2

1

2 ö

2

2

2

| d |=

(-2)

+ (-1)

+

2

= 3, d0

=

r

=

ç

-

,

-

,

÷.

3

3

| d |

è

3 ø

r

r

r

на век-

За формулою (3.23) знайдемо проекцію вектора g

= a

+ c

r

r

r

тор d = 2b - c:

Пр 2 b - c

r

r

r

r

r

æ

-

2 ö

2 ×

æ

1

ö

+ 3 ×

2

=

2

. <

(a

+ c) =

Прd g =

g

× d0 = 1×ç

÷ +

ç-

÷

r

r

r

è

3 ø

è

3 ø

3

3

Приклад 3.10. При

якому m вектори a = (m, 3, - 4),

b = (- 2, m, 1)

взаємно перпендикулярні?

► Необхідна й достатня умова перпендикулярності двох векто-

r

r

рів: a

× b = 0.

r

r

a

×b = axbx + a y by + az bz = -2m + 3m - 4 = m - 4 = 0 Þ m = 4. <

Приклад 3.11. Знайти

довільний

r

напрямлений

уздовж

вектор d ,

r

r

бісектриси кута між векторами a

= (0, 3, 4) і b = (4, 7, 4).

► Сума двох векторів, що мають однакові довжини, напрямлена

r

r

уздовж бісектриси кута між векторами. Знайдемо орти векторів a і b :

r

r

r

r

(0, 3, 4)

æ

3

4

ö

b

(4, 7, 4)

æ

4

7

4

ö

a

a0

=

r

|

=

= ç

0,

,

÷,

b0

=

r

=

=

ç

,

,

÷.

42 + 72 + 42

02 + 32 + 42

| a

è

5 5

ø

| b |

è

9 9 9

ø

Сума цих векторів напрямлена уздовж бісектриси кута між век-

r

r

торами a і

b:

r

r

æ

3

4 ö

æ 4

7

4 ö

æ 4

62

56 ö

r

r

r

æ

4

62

56 ö

a + b =

ç

0,

,

÷ +

ç

,

,

÷ =

ç

,

,

÷,

Þ d = l(a

+ b

) = lç

,

,

÷.

<

45

0

0

è

5

5 ø è 9 9

9 ø è

9 45

ø

0

0

è

9 45

45 ø

c

3.11. ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ

некомпланар-

c

Упорядкована

трійка

r

r

r

r

r

r

r

b

них векторів a,

b,

c називається правою

a

(лівою), якщо після зведення до спільного

r

r

j

j

початку найкоротший поворот від векто-

a

b

r

r

що спостерігається з

ра a

до вектора b ,

Права трійка

Ліва трійка

r

кінця вектора c , здійснюється проти обе-

Рис. 3.16

ртання

стрілки (за

стрілкою)

годинника

(рис. 3.16).

r

Векторним добутком векторів a і b

називається вектор

r

r

r

задово-

c

= a

´ b , що

льняє умови (рис. 3.17):

1)

довжина

вектора c

дорівнює

добутку

довжин

векторів a

r

на синус

кута

і b

r r

r

між ними (| c |=| a || b | sin j );

2)

вектор c перпендикулярний

кожному

r

r

r

r

r

Рис. 3.17. Векторний

із векторів a і b,

тобто c

^ a,

c ^ b;

3)

вектор c напрямлений так, що вектори

r

добуток векторів a і b

r

a, b, c утворюють праву трійку.

r

r

r

r

(3.24)

a

´ b = 0 Û a || b.

2.

r

Площа паралелограма, побудованого на векторах a і b:

S =

r

r

.

(3.25)

a ´ b

3.

r

r

Площа трикутника, побудованого на векторах a і b:

1

r

r

SD

=

a

´ b

.

(3.26)

2

Векторний добуток в ортонормованому базисі

r r

r

У базисі i , j ,

k векторний добуток векторів

r

r

r

r

r

r

r

r

a

= ax i + ay j + az k = (ax , ay , az ),

b = bx i + by j + bz k = (bx , by , bz ),

обчислюється за формулою:

r

r

r

r

r

i

j

k

r

r

r

ax

ay

az

a

´b =

= (ay bz - az by )i + (azbx

- ax bz )j + (axby - ay bx )k.(3.27)

bx

by

bz

бутку векторів AB = (8, -10, 0)

i AC = (0,

4, - 3).

Оскільки AB ´ AC =

i

j

k

= 30i + 24 j + 32k , то

8

-10

0

0

4

- 3

1

1

=

= 25 (од.2).

2 500

SD =

AB ´ AC

=

30 2 + 24 2

+ 32 2

2

2

2

З іншого боку, площу трикутника можна обчислити за формулою

SD =

AC

h / 2, звідки знаходимо висоту трикутника:

h =

2S D

=

50

= 10. <

AC

0 2 + 4 2 + (-3) 2

Приклад 3.13.

Вектор

r

перпендикулярний

до

векторів

x,

r

і b = (0, 1, 3), утворює з віссю Oy тупий кут. Знайти йо-

a = (4, - 2, - 3)

r

го координати, якщо | x |= 26.

r

r

r

r

який перпендикуляр-

► Вектор x

колінеарний вектору c = a

´ b,

r

r

тому:

ний до векторів a і b,

r

r