2) розкладом за елементами 1-го стовпця з одержанням у ньому нулів:
|
|
|
2 1 |
1 |
8 |
|
|
|
1 |
- 3 - 6 |
9 |
ì |
|
|
|
ü |
|
||
|
|
|
1 |
- 3 |
- 6 9 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
8 |
ï |
|
|
- 2e |
ï |
|
|
|
|
|
= {e1 |
« e2 } = - |
ïe |
|
|
ï |
|
||||||||||
D = |
0 2 |
2 |
- 5 |
0 |
2 |
2 |
- 5 |
= í |
2 |
1 |
ý |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
ï |
|
||||||||
|
|
|
1 4 |
6 |
0 |
|
|
|
1 |
4 |
6 |
0 |
ï e |
4 |
- e |
ï |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
1 |
þ |
|
|
|
|
1 |
- 3 |
- 6 |
9 |
|
|
7 |
13 |
-10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
7 |
13 |
-10 |
= -1(-1)1+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= - |
|
2 |
2 |
- 5 |
= -[-126 - 455 - 240 - |
||||||||||||||
|
|
0 |
2 |
2 |
- 5 |
|
|
7 |
12 |
- 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
7 |
12 |
- 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
- (-140 - 420 - 234)] = 27;
3)зведенням визначника до трикутного вигляду:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- 3 - 6 9 |
|
ì |
|
|
ü |
|
|
|
1 - 3 - 6 9 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
7 13 |
-10 |
|
ï |
|
3e3 |
ï |
|
|
|
0 1 |
7 |
5 |
|
||||||||
D = {див. п. 2} = - |
= |
ïe2 - |
ï |
= - |
= |
||||||||||||||||||||||||
0 |
2 |
2 |
- 5 |
í |
|
|
ý |
0 2 |
2 |
- 5 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
ï |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
7 12 - 9 |
|
ï |
|
|
ï |
|
|
|
0 0 -1 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
î e4 - e2 þ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ì |
|
ü |
|
1 - 3 - 6 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- 3 - 6 |
9 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ï |
|
ï |
|
|
0 |
1 |
|
7 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
7 |
5 |
|
|
|
||
ï |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
= {e4 |
« (-e3 )} = |
|
|
= |
||||||||||||||||
= í |
|
ý |
= |
|
0 0 -12 |
-15 |
|
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
|
||||||||||||||||
ïe3 |
- 2e2 ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ï |
/(-1) |
ï |
|
|
0 0 |
1 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 12 15 |
|
|
|
||||||
îe4 |
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- 3 |
- 6 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= {e |
4 |
-12e } = |
|
0 |
1 |
|
|
7 |
|
5 |
= 1×1×1× 27 = 27. |
< |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4. ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ
Квадратна матриця А–1 називається оберненою до матриці А, якщо
А–1 × A = A × А–1 = E. (1.6)
Квадратна матриця А називається виродженою, якщо det(A) = 0, і невиродженою, якщо det(A) ¹ 0. Для невиродженої матриці А обернену матрицю можна обчислити за формулою:
|
|
|
|
|
|
æ |
A |
A |
... |
A |
ö |
|
|
|
1 |
~ |
1 |
|
ç |
11 |
21 |
... |
n1 |
÷ |
|
|
|
|
ç |
A |
A |
A |
÷ |
|
||||
A-1 |
= |
|
A = |
|
× |
ç |
12 |
22 |
|
n2 |
÷, |
(det( A) ¹ 0), (1.7) |
det( A) |
det( A) |
|
|
... ... |
||||||||
|
|
|
|
ç ... ... |
÷ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
A |
A |
... |
A |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
è |
1n |
2n |
|
nn |
ø |
|
де Aij (i, j = 1, n ) – алгебраїчні доповнення елементів aij матриці A.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
17
Зауваження. Алгебраїчне доповнення Aij елемента aij, розташованого в матриці A на перетині i-го рядка і j-го стовпця, в оберненій матриці розміщується на перетині j-го рядка й i-го стовпця.
Приклад 1.18. Обчислити матрицю, обернену до матриці
æ |
1 |
-1 |
2 |
ö |
ç |
|
2 |
- 3 |
÷ |
A = ç2 |
÷. |
|||
ç |
2 |
1 |
-1 |
÷ |
è |
ø |
|||
► Обчислимо визначник D і алгебраїчні доповнення Аik елементів аik:
|
1 |
-1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D = |
2 |
2 |
|
-3 |
=1×2×(-1) + (-1) ×(-3) ×2 + 2 ×1×2 - (2×2×2 +1×(-3) ×1+ (-1) ×2 ×(-1)) =1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 -3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1+1 |
|
|
|
= -2 + 3 =1, |
A |
|
|
|
2 +1 |
-1 2 |
|
=1, |
|
3 +1 |
= -1, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
A = (-1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=(-1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
A =(-1 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
|
31 |
|
2 |
|
|
-3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 -3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1+ 2 |
|
|
|
|
= -(-2 |
+6) |
= -4, |
A |
|
|
|
2 + 2 |
1 2 |
= -5, |
A |
3 + 2 |
=7, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
A = (-1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (-1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
=(-1 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
2 -1 |
|
32 |
|
|
2 |
-3 |
|
|
|
|||||||||||
A =(-1 1)+3 |
|
2 2 |
|
=2 -4 =-2, |
|
A =(-1 2)+3 |
|
1 -1 |
|
= -3, |
A =(-1 3)+ 3 |
|
1 -1 |
|
= 4. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
33 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
За формулою (1.7) знайдемо обернену матрицю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
1 |
1 |
|
|
|
-1ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A-1 = ç- 4 - 5 |
7 ÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
- 2 |
- 3 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Перевірка |
|
|
|
è |
|
|
|
4ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
æ 1 |
|
1 -1ö æ1 |
-1 2ö |
æ 1+ 2 - 2 -1+ 2 -1 2 -3 +1 ö |
æ1 0 0ö |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ ç |
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
||||||
A-1 ×A =ç-4 -5 7÷×ç2 2 -3÷ |
=ç-4 -10+14 4 -10+7 -8 +15-7÷ =ç0 1 0÷ = E.< |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ ç |
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ ç |
|
÷ |
|
-2 -6 |
+8 2 -6 + 4 |
-4 + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
è-2 |
|
-3 4ø è2 1 |
-1ø |
è |
|
9 -4 ø |
è0 0 1ø |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Обчислення оберненої матриці методом елементарних перетворень
Елементарними називаються такі перетворення матриці:
1)транспонування матриці;
2)переставлення місцями двох рядків (стовпців);
3)множення рядка (стовпця) на відмінне від нуля число;
4)додавання до елементів рядка(стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на одне і те саме число;
5)викреслювання нульового рядка (стовпця).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
18