Питання для самоперевірки

3.

r

r r

r

r

r r

r

коліне-

При яких a, b вектори a

= -2i + 3 j + bk

і b =ai - 6 j + 2k

арні?

4.

Знайти координати вектора c , що напрямлений по бісектрисі кута

r

r

= 3

42.

між векторами a = (2, -3, 6) і b = (-1, 2, -2) за умови

c

5.

r

r

r

r

r

r

r

Довести, що для довільних векторів a , b і c

вектори a + b , b + c і

r

r

c

-a компланарні.

r

r

r

а) (a +1)a

+ b, 2b;

r

r

r

r

б) aa

+ b, a

+ab.

r

r

r

r

r

7. Довести, що

для

довільних векторівe1 ,

e2

вектори a =

e1 + e2 ,

r

r

r

r

= -

r

r

b

= e1

- 2 e2

і c

e1

- 4 e2 лінійно залежні. Знайти коефіцієнти

лінійної залежності.

8. Дано рівнобічну

трапеціюABCD.

Кут

між

основою AB

і

сторо-

ною AD дорівнює 60°. Розкласти

за AB і

AD вектори BC ,

AC

вектора AD,

беручи за базис вектори AB і AC.

r

r

,

r

10. Показати, що вектори e ,

e

2

e утворюють базис, і знайти коорди-

r

1

3

нати вектора a у цьому базисі:

r

r

=

(1, 1, 1),

r

= (1, 2, 1),

r

= (0, 0, 1),

= (1, 0, 4);

а) e1

e2

e3

a

r

=

(1, 0, 1),

r

= (0, 1, 0),

r

= (2, 3, 4),

r

= (1, - 3, - 3);

б) e1

e2

e3

a

r

=

(1, 2, 1),

r

= (2, 3, 3),

r

= (3, 1, 7),

r

= (3, 3, 5).

в) e1

e2

e3

a

r

r

r

r

11. Нехай a,

b,

c - одиничні вектори, що утворюють із віссю L від-

повідно

кути p /

3,

2p /

3,

p. Знайти

проекцію

на

r

вектора

вісь L

r

r

r

3 a + 2b + c.

r

r

r

r

r

12. Знайти

проекцію

на

суми

вісьL

векторівa,

b,

c,

d , якщо

r

= 5,

r

= 6,

r

= 8,

r

= 12, а кути, що утворюють ці вектори з

a

b

c

d

r

відповідно дорівнюють 0, 2p / 3, p, p / 3.

віссю L,

17.

При якому значенні m вектори c

r

r

r

мають

= a – m b

і d

= a + m b

однакові довжини?

r

18.

r

утворюють кут 60°,

r

= 3,

= 4. Знайти довжину

Вектори a і b

a

b

r

r

r

вектора c

= 3 a

+ 2b .

r

19.

r

r

утворюють кут 120°,

r

= 3,

= 5. Знайти кут між

Вектори a і b

a

b

r

r

r r

r

r

векторами c

= a – 2 b і d = 3 a + 2 b.

r

r

r

r

20.

Яку умову повинні задовольняти вектори a і

b,

щоб вектор a + b

r

r

був перпендикулярний до вектора a

- b?

21.

r

r

r

Дано вектори a = (4, -3, -4), b = (-2, 4, -3), c = (0, 2, -1). Обчис-

лити:

r

r

а) a

×b;

r

r

б) a

×c;

в)

r

a 2 ;

r

r

r

r

г) ( a - b )×( a + b ).

r

r

r

r

r

r

r

r

22.

При якому значенні m вектори a

= mi + 3 j + 4k

і b = 4i + mj - 7k

взаємно перпендикулярні?

23.

Дано вершини чотирикутникаA(1,

-2, 2), B(1, 4, 0), C(-4, 1, 1),

D(-5, -5, 3). Довести, що його діагоналі взаємно перпендикулярні.

24.

Дано вершини трикутника A(3, 2, -3), B(5, 1, -1), C(1, -2, 1). Ви-

значити його внутрішній кут при вершині B.

r

25.

r

Знайти проекцію вектора a

= (5, 2, 5) на вектор b = (2, -1, 2).

26.

r

r

Дано вектори a = (3, 0, -4), b = (2, -1, -2). Знайти:

r

а) Прr a;

b

r

б) Прarb;

r

r

в) Прar (2a

- 3b ).

r

27.

r

-1)

Знайти вектор c,

який перпендикулярний до векторів a = (2, 3,

r

r

r

r

r

- 6.

і b = (1, -2, 3) та задовольняє умову c

× ( 2i -3 j + k ) =

28.

r

r

Дано вектори a = (3, -1, -2) і b = (1, 2, -1). Знайти:

r

r

а) a

´b;

r

r

r

б) (2 a + b )´b.

r

r

r

r

r

r

r

r

a

= 6i + 3 j - 2k і b = 3i - 2 j + 6k .

31.

r

c, якщо:

Чи будуть компланарними вектори a, b,

r

а) a = (2, 5, 7), b = (1, 1, -1), c = (1, 2, 2);

r

б) a = (2, 3, -1), b = (1, -1, 3), c = (1, 9, -1);

r

в) a = (2, -1, 2), b = (1, 2, -3), c = (3, -4, 7).

32.

Довести,

що чотири

точкиA(1, 2,

-1),

B(0, 1,

5),

C(-1,

2,

1),

D(2, 1, 3) лежать в одній площині.

r r r

r

r

r

r

33.

r

r

r

r r

При яких t вектори a = ti - t 2 j + t 3 k ,

b = 2i - j - k ,

c = -4i + 2 j + 5k

компланарні?

вершинамиA(2,

B(5,

34.

Знайти

об’єм

піраміди

з

-1,

1),

5,

4),

C(3, 2, -1), D(4, 1, 3).

35.

Знайти

довжину висотиDH

піраміди

з

вершинамиA(2,

3,

1),

B(4, 1, -2), C(6, 3, 7), D(-5, -4, 8).

36.

Об’єм

піраміди V =

5,

три

її

вершини

містяться

в

точках

A(2, -1, 1), B(5, 5, 4), C(3, 2, -1). Знайти координати четвертої вер-

шини D, якщо відомо, що вона лежить на осі Oy.