3.10. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ

r

r

r

r

cosj (0 £j £ p ).

(3.17)

a

× b =

a

b

r

r

r

r

r

r

r

r

a

= ax i + ay j + az k = (ax , ay , az ),

b = bx i + by j + bz k = (bx , by , bz )

r

r

+ az bz .

(3.18)

a

× b = axbx + a yby

Деякі важливі формули

·

r

= (ax , ay , az ):

довжина вектора a

r

(3.19)

= ax2

+ ay2 + az2 ;

a

· відстань між двома точками А(х1, у1, z1) і В(х2, у2, z2):

AB

=

(x

2

- x )2

+ ( y

2

- y

)2

+ (z

2

- z )2

;

(3.20)

1

1

1

·

r

r

косинус кута між векторами a і b :

r

r

axbx

+ ay by

+ az bz

cosj =

a

× b

=

;

(3.21)

r

r

a

×

b

ax2 + ay2 + az2

bx2 + by2 + bz2

r

r

+ ayby

+ az bz

=

r

r

(3.22)

a

× b = axbx

0 Û a

^ b;

· проекція

вектора

r

вектор a

r

b на

b

(рис. 3.15):

r

r

r

r

r

a

×b

r

Пр rb =

b

cosj =

= b × a

=

r

r

0

a

a

a

j

ax bx + a y by + az bz

r

r

r

r

a

Прarb =

b

cosj

=

,

a0

=

r

. (3.23)

ax2 + a 2y

+ az2

a

Рис. 3.15

r

Приклад 3.7. Вектори a і b утворюють кут j = p / 3,

a

= 2,

= 3.

b

r

r

r

r

r

r

Знайти: 1) a

×b;

2) a 2; 3) (a

+ b)2 ; 4) Прarb.

r

r

r

r

p

1

r

r

► 1) a ×b =

a

b

cosj = 2 ×3 × cos

= 6 ×

= 3; 2) a 2

=| a |2 = 2

2 = 4;

3

2

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

3) (a + b )2

= a 2 +

2a

×b + b 2

=| a |2

+2 | a || b | cosj + | b |2 =

= 22 + 2 × 2 ×3 × 1 + 32

= 19;

4) Прarb = b cosj = 3 × cos p = 3 . <

r

r

2

3

2

cosj =

BA × BC

=

1× (-1) + (-2) ×

(-1) + 2 × 4

=

1

Þ j = 45o. <

| BA | ×| BC |

3 ×3 2

2

Приклад 3.9.

r

=(8, -7, 2).

Дано три вектори a =(1, 2, 3), b =(3, - 4, 2), c

r

r

Знайти Пр2b -c (a

+ c).

r r

► Введемо вектори:

r

r

r

- 4,

2) - (8, - 7, 2) = (-2, -1, 2),

d = 2b - c = 2(3,

r

r

r

+ (8, - 7, 2) = (9,

- 5, 5).

g

= a

+ c = (1, 2, 3)