Алгебраїчні властивості скалярного добутку

1) (x, y) = ( y, x);

r

3) (lx, y) = (x, ly) = l(x, y);

r

r

r

r

2) (x + y, z ) = (x, z ) + ( y, z );

4) (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 Û x

= 0.

r

r r

=

)= x2

+ x2

+ ... + x

2

.

(3.43)

x

(x, x

1

2

n

r

r

=1.

Вектор x

називається нормованим, якщо

x

AB

= (b - a )2 + (b

- a

2

)2

+ ... + (b

- a

n

)2 .

(3.44)

1 1

2

n

r

r

Для довільних векторів x і

y виконуються:

· нерівність Коші-Буняковського

r r

£

r

×

r

;

(3.45)

(x, y)

x

y

r

r

£

r

+

r

.

(3.46)

x

+ y

x

y

Кут між векторами в евклідовому просторі En

r

r

Косинус кута φ між векторами x

і y визначається за формулою:

r

r

cosj =

(x, y)

,

0

£ j £ p.

(3.47)

r

×

r

x

y

r r

r

r

Якщо (x, y) = 0, то φ = π / 2 і вектори x ,

y називають ортогона-

Приклад 3.19.

Знайти

кут

між

r

векторамиx = (1, 2, 3, 2) і

r

y = (3, 1, 1, 5).

► Знайдемо норми векторів:

r

= x2

+ x2

+ x2

+ x2

= 12 + 22 + 32 + 22 = 18 = 3 2,

x

1

2

3

4

r

= y2 + y 2 + y2 + y2

= 32

+12 +12 + 52 = 36 = 6.

y

1

2

3

4

r

r

1×3 + 2 ×1 + 3 ×1 + 2 ×5

18

1

p

cosj =

(x, y)

=

=

=

Þ j =

. <

r

r

×

4

x

y

260

130

18

2

2

Теорема Піфагора.

r

r

ортогональні, то

Якщо вектори x

і

y

r

r

2

=

r

2

+

y

2

(3.48)

x

+ y

x

r

r

r

називається ортогональною, якщо

r

Система векторів q1

, q2 ,…, qn

r

r

r

)¹ 0 при i = k.

(qi

, qk )= 0 при i ¹ k і (qi

, qk

r

,

r

r

називається ортонормованою, якщо:

Система векторів q1

q2

,…, qn

r

r

)=

ì0

i ¹ k,

(3.49)

(qi

, qk

í

i = k.

r

r

r

î1

(див. (3.39)) є ортонормованою.

Система векторів e1, e2 ,

..., en

Приклад 3.20. Підприємство виробляє щоденно п’ять видів виро-

бів. У табл. 3.1 наведені основні характеристики виробництва.

Таблиця 3.1

Вид

Кількість

Витрати

Норма часу

Вартість одного

виробів,

сировини

виробництва,

виробу

виробу, грош. од.

од.

на один виріб

год./виріб

1

10

5

10

20

2

20

3

15

15

3

60

8

5

35

4

40

6

20

30

5

50

4

8

10