пи. Поэтому при таком эквивалентном преобразовании токи в проводах, подходящих к преобразуемой схеме, и напряжения между узлами не меняют ни величин, ни направлений. Такой вид преобразования возможен только для участков, не содержащих источников электрической энергии.
При преобразовании треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду используют формулы
Rb = |
|
R1R3 |
; |
Rc = |
|
|
R2 R3 |
|
|
; |
Rd = |
|
R1R2 |
. (1.25) |
|||||||
R1 |
+ R2 + R3 |
|
R1 + R2 |
+ R3 |
|
R1 |
+ R2 |
+ R3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Возможно обратное преобразование звезды сопротивлений в эк- |
|||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
треугольник. Сопротивления ветви треугольника при |
|||||||||||||||||||
таком преобразован |
вычисляются следующим образом: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
R |
= R |
bd |
= R |
b |
+ R |
d |
|
+ |
Rb Rd |
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Rc |
|
|
|
|
|
|
|
||||
вивалентный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RсRd |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R2 |
= Rсd |
= Rс |
+ Rd |
+ |
; |
|
|
|
(1.26) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
Rb Rc |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
R3 |
= Rbc |
= Rb |
+ Rc |
+ |
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rd |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8. Методы расчёта цепей постоянного тока |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
А |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1.8.1. Применение законов Кирхгофа для расчёта |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
электрических цепей |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||||||
Для составления уравнений по законамИКирхгофа устанавливается число неизвестных токов p = pB − pT, где pB – общее количество ветвей цепи; pT – количество ветвей с источниками тока. Определяется число узлов q , число независимых контуров n = [p − (q – 1)] [1].
Для каждой ветви произвольно задаются положительным направлением тока для определения знаков токов в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, число которых равно [q – 1]. Количество уравнений на единицу меньше числа узлов, потому что ток каждой ветви входит с разными знаками в уравнения для соединяемых ею узлов. Сумма слагаемых уравнений всех узлов тождественно равна нулю.
20
Для каждого независимого контура произвольно задаются на- |
|||||||||
правлением обхода контура для определения знаков слагаемых в |
|||||||||
уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, число кото- |
|||||||||
рых равно n. При их составлении следует выбирать независимые кон- |
|||||||||
туры, не содержащие источников тока. Общее количество уравнений, |
|||||||||
составленных по законам Кирхгофа [q – 1] + n, должно быть равно p. |
|||||||||
Рассмотрим расчёт токов в цепи, изображённой на рис. 1.13. |
|||||||||
Всего в схеме шесть ветвей (pB = 6), ветвей с источниками тока pT = 1, |
|||||||||
число не звестных токов – p |
= pB − pT = 5, количество узлов – q = 4, |
||||||||
число уравнен й по первому закону Кирхгофа – [q – 1] = 3, число |
|||||||||
уравнен й по второму закону Кирхгофа – n = [p − (q – 1)] = 2. |
|||||||||
С |
E |
|
I3 |
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
R |
|
|
|
I |
5 |
|
|
и2 I |
|
R5 |
|
|
c |
||||
|
a |
|
2 |
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
J6 |
бR1 |
|
UJ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
I4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E4 |
|
|
|
I6 |
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
||||||
|
Рис. 1.13. Разветвлённая цепь постоянного тока |
||||||||
Произвольно укажем положительные направления токов и обо- |
|||||||||
значим их стрелками. Выберем и обозначим стрелками направления |
|||||||||
обхода двух независимых контуровД: I и II. Составим систему уравне- |
|||||||||
ний по законам Кирхгофа: |
|
|
|
|
|
|
|
||
для узла a |
I1 − I2 − I3 = 0; |
|
|
|
|
|
|||
для узла b |
I2 + I4 − I5 = 0; |
|
|
|
|
|
|||
для узла c |
I3 + I5 + I6 = 0 или I3 + I5 |
= −J |
6 ; |
|
|||||
для контура I |
R1I1 + R2 I2 − R4 I4 = −E4 ; |
И |
|||||||
для контура II |
− R2 I2 + R3I3 − R5I5 = E3 . |
|
|
|
|
||||
Решив полученную систему уравнений с числовыми значениями |
|||||||||
параметров, получим значения неизвестных токов. Полученные отри- |
|||||||||
цательные значения какого-либо тока означают изначально непра- |
|||||||||
вильно выбранное направление тока, однако значение его получается |
|||||||||
21
верным. Тогда можно считать значение тока положительным, если развернуть его направление на схеме.
Для решения систем уравнений большой размерности можно применить специальные прикладные математические методы решения систем алгебраических уравнений с применением ЭВМ, напри-
Смер, метод Крамера, метод Гаусса, метод «обратной матрицы» и т.д. помощью законов Ома и Кирхгофа можно рассчитать режим
работы любой электрической цепи постоянного тока. Для упрощения вычислен й пр меняют различные расчётные методы: контурных то-
ков, узловых потенц алов, эквивалентного источника и т.д. Все эти методы основаны на законах Ома и Кирхгофа.
иМетодбыосновываетсятьна том свойстве, что ток в любой ветви цепи может представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих по этой ветви [10]. При использовании данного метода вначале выбирают и обозначают независимые контурные токи (по лю ой ветви цепи должен протекать хотя бы один контурный ток). О щее число независимых контурных токов
1.8.2. Метод контурных токов
равно [pB − (q – 1)]. Рекомендуется выбирать pT контурных токов так, чтобы каждый из них проходил через один источник тока (эти кон-
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||||||||
турные токи можно считать совпадающими с соответствующими то- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ками источников тока: J , J , , J |
, они обычно являются заданны- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
А1 2 pT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ми условиями задачи), а оставшиеся n = |
[p − (q – 1)] контурных токов |
|||||||||||||||||||||||||||||||
выбирать проходящими по ветвям, не содержащим источников тока. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Для определения последних составляют по второму закону Кирхгофа |
||||||||||||||||||||||||||||||||
для этих контуров n уравнений в виде |
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
R11I11 + R12I22 |
+ + R1k I1k |
+... + R1nInn + R1n+1J1 + + R1n+ p J p |
|
= E11; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
R I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ R |
I |
22 |
+ + R |
I |
2k |
+... + R |
I |
nn |
+ R |
|
|
J |
1 |
+ + R |
|
J |
|
pT |
= E |
22 |
; |
|||||||||||
21 11 |
22 |
2k |
|
2n |
|
|
2n+1 |
|
|
|
2n+ pT |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1.27) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R I |
+ R |
I |
22 |
+ + R |
I |
kk |
+... + R I |
nn |
+ R |
J |
1 |
+ + R |
J |
pT |
= E |
kk |
; |
|
||||||||||||||
k1 11 |
k 2 |
|
kk |
|
kn |
|
kn+1 |
|
|
|
|
kn+ pT |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
R I |
+ R |
I |
22 |
+ + R |
I |
nk |
+... + R |
I |
nn |
+ R |
|
J |
1 |
|
+ + R |
|
J |
pT |
= E |
nn |
, |
|||||||||||
n1 11 |
n2 |
|
nk |
|
nn |
|
|
nn+1 |
|
|
|
|
nn+ pT |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где Rkk – сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
всегда положительное собственное сопротивление контура; |
|
|
Rkl = Rlk |
|||||||||||||||||||||||||||||
– сумма сопротивлений элементов, общих для контуров k |
и l , при- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
22
чём если направления контурных токов в общей для контуров k и l |
||||||||||||||||
ветви совпадают, |
то значение Rkl |
положительно, в противном случае |
||||||||||||||
оно отрицательно; Ekk – алгебраическая сумма ЭДС источников, |
||||||||||||||||
включенных в ветви, образующие контур k ; Rkk +m |
– общее сопротив- |
|||||||||||||||
ление k контура с контуром, содержащим источник тока Jm . |
||||||||||||||||
Неизвестные токи во внешних ветвях цепи будут равны соответ- |
||||||||||||||||
ствующим контурным токам, а токи во внутренних ветвях, смежных |
||||||||||||||||
для нескольк х контуров, |
определяются методом наложения контур- |
|||||||||||||||
ных токов в ветви. При этом искомый ток внутренней ветви равен |
||||||||||||||||
сумме смежных контурных токов при совпадении их направлений в |
||||||||||||||||
Сразности – при |
х встречном направлении. |
|
||||||||||||||
Рассмотр м пр менение метода контурных токов для расчёта |
||||||||||||||||
токов в цепи, |
зо раженной на рис. 1.13. Выберем направления кон- |
|||||||||||||||
турных токов (р с. 1.14), |
которые обозначим I11, I22 и J6 (последний |
|||||||||||||||
известен). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветви |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
E |
|
|
I3 |
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a |
|
|
R2 |
I2 |
|
b |
|
R5 |
I5 |
|
|
c |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
J6 |
|
|
R1 |
АI11 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E4 |
I4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||
|
|
|
Рис. 1.14. Метод контурных токов |
|
||||||||||||
Составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа для |
||||||||||||||||
контуров с токами I11 |
и I22: |
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(R1 + R2 + R4 )I11 − R2 I22 + R4 J6 |
= −E4 ; |
|||||||||||||
|
|
− R I |
11 |
+(R + R + R )I |
22 |
+ R J |
6 |
= E . |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
3 |
5 |
|
5 |
|
3 |
||||
Решив эту систему уравнений, найдём контурные токи I11, I22, |
||||||||||||||||
затем найдём токи в ветвях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ток I1 имеет направление контурного тока I11: I1 = I11. |
||||||||||||||||
23