Комплексное

число

*

Ae− jψa называется сопряжён-

A = p − jq =

jψa

.

ным числу A = p + jq = Ae

С

Например, для синусоидального тока, определяемого тригоно-

метрическим выражением

sin(314t −30 ),

комплексное значен е

i = 5

2

и

I =

5e

− j30

=5cos30 − j5sin30 =

5

3

2 − j5 2 ;

комплексно-сопряжённое значение

*

5e j30 = 5

I =

3

2 + j 5 2 .

Алгебра ческая форма представления удобна для сложения

комплексных ч сел,

(p + p

)+ j(q + q ),

A

+ A

=

2

1

2

1

1

2

А

а показательная – для умножения и деления:

бA

A

A

A

=

A

A

e j(ψa1+ψa2 );

1

=

1

e j(ψa1−ψa2 ).

1

2

1

2

A

A

2

2

Д

L =

Ψ .

(2.13)

i

тушки, а при од наковом магнитном потоке в каждом витке Фk и ко-

личестве в тков катушки w его можно определить как

системе

w

С

= wΦk .

(2.14)

Ψ = ∑Φk

k=1

Основной ед н цей потокосцепления и магнитного потока в

б

СИ служ т ве ер [Вб], индуктивности – генри [Гн].

а

L

Ψ 2

А

1

линейный индуктивный элемент

Ψ(i)

0

i

Д

нелинейный индуктивный элемент

Рис. 2.3. Индуктивный элемент:

а – условное графическое обозначение; б – вебер-амперная характеристика

И

Основной характеристикой идеальной катушки индуктивности

является зависимость Ψ(i), называемая вебер-амперной характери-

стикой. Для

линейных

катушек

индуктивности

зависимость Ψ(i)

L

= Ψ

(2.15)

ст

I

и дифференциальной индуктивностью

L

=

dΨ

.

(2.16)

д

di

самоиндукци

[2]

dΨ

di

С

e = − dt = −L dt .

(2.17)

Электромагн тная индукция была обнаружена одновременно

Майклом Фарадеем

Джозефом Генри в 1831 г. ЭДС самоиндукции

пропорц ональна

изменения тока в катушке, знак «минус»,

скорости

согласно прав лу Э. Ленца, указывает на то, что ЭДС самоиндукции

препятствует

зменен ю тока, возбуждающего магнитный поток ка-

тушки индуктивности. При этом индукционный ток всегда имеет та-

кое направление, что он осла ляет действие причины,

возбуждающей

б

этот ток.

А

Поэтому напряжение на индуктивном элементе равно по значе-

нию и в каждый момент времени противоположно по направлению

ЭДС самоиндукции:

Д

u = −e = L di

.

(2.18)

dt

Если за время t1

ток в индуктивном элементе изменится от нуля

до i, то в магнитном поле элемента будет запасена энергия

t1

И

WM = ∫iu dt ,

0

или с учётом выражений (2.13) и (2.18)

Li2

i

WM = ∫iL(i)di =

2

.

(2.19)

0

заряда q на обкладках конденсатора к напряжению u между ними

С C = q

(2.20)

u

и

т от геометр о кладок и свойств диэлектрика, находящего-

ся между н ми. Ед н цей ёмкости в системе СИ является фарад [Ф].

Основной характеристикой конденсатора является зависимость

завис

q(u), называемая кулон-вольтной характеристикой. Большинство ди-

электр ков,

спользуемых на практике, линейны, т.е.

у них относи-

тельная диэлектрическая проницаемость ε = const. В этом случае зави-

симость q(u)

представляет со ой прямую линию, проходящую через

б

А

1

а C б 2

q

Д0 u

Cст =

q

(2.21)

U

и дифференциальной ёмкостью

С

Cд

= dq .

(2.22)

du

Если напряжение, приложенное к ёмкостному элементу, будет

изменяться, то будет изменяться и заряд, т.е. в ёмкостном элементе

появится ток

i = dq

= C du .

(2.23)

Если

dt

0

dt

за время t1

напряжение на ёмкостном элементе изменится от

нуля до u, то в электр ческом поле элемента будет накоплена энергия

б

t1

WЭ = ∫iu dt ,

или с учётом выражен я (2.23)

Cu2 .

WЭ = ∫i

uC(u)du =

(2.24)

А

0

2

Ёмкостные элементы электрических цепей можно рассматри-

вать в качестве аккумуляторов энергии.

Д

2.4. Закон Ома для резистивного, индуктивного

и ёмкостного элементов

Зависимости между токами и напряжениями резистивных, ин-

дуктивных и ёмкостных элементов определяются происходящими в

них физическими процессами. При анализе цепи переменного тока

необходимо рассматривать амплитудные и фазовые отношения между

токами и напряжениями [2, 5, 6].

Для мгновенных значений напряжения и тока в резистивном

элементе справедливо соотношение, определяемое законом Ома:

uR = RiR ,

И

или

uR = RIRm sin(ωt +ψi )=URm sin(ωt +ψu ),

(2.25)

где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

URm = RIRm ,

(2.26)

ψu = ψi ,

(2.27)

т.е. ток и напряжение в резистивном элементе изменяются синфазно –

совпадают по фазе, как показано на рис. 2.5, а для начальной фазы

ψu = ψi > 0.

а

I∙R

б

uR, iR

.

∙

uR

R

UR

+j

UR

I∙R

iR

С0

ωt

ψu = ψi

ψu = ψi

0

+1

Р с. 2.5. Цепь с нусоидального тока с резистивным элементом:

а – граф

изменения напряжения, тока;

ики

– векторная диаграмма на комплексной плоскости

Действующие значения напряжения UR

и тока IR

связаны

законом Ома

б

UR = RIR .

(2.28)

Представив синусоидальные ток и напряжение резистивного

элемента соответствующими комплексными значениями

А

IR

=

IR e jψi

и U R =U R e jψu ,

получим закон Ома для резистивного элемента в комплексной форме

U

R

= RI .

(2.29)

R

Д

Соотношение между комплексными значениями тока и напря-

жения для резистивного элемента наглядно иллюстрируется вектор-

ной диаграммой элемента (рис. 2.5, б).

Если в индуктивном элементе ток синусоидальный

iL = ILm sin(ωt +ψi ),И(2.30)

где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

U Lm = ωLILm ,

(2.32)

а их начальные фазы – соотношением

С

ψu = ψi + π .

(2.33)

2

На рис. 2.6, а показан график мгновенных значений синусои-

дальных тока напряжения индуктивного элемента для ψi > 0, из ко-

торого в дно, что напряжение опережает ток по фазе на угол

ϕ = ψu −ψi =

π.

(2.34)

Вел ч на

2

X L = ωL = 2πfL

(2.35)

называется ндукт вным сопротивлением [Ом], а обратная величина

и

BL =

1

(2.36)

ωL

– индуктивной проводимостью [См].

Значениябвеличин XL и BL являются параметрами индуктивных

элементов цепей синусоидального тока.

а

I∙L

б

uL, iL

А

iL

XL

UL

U∙ L

+j

I∙L

0

uL

ωt

ψu

φ = π/2 ψi

Дψi

ψu

0

+1

И

связаны по закону Ома

U L = X L IL .

(2.37)

Представив синусоидальные ток и напряжение индуктивного

элемента соответствующими комплексными значениями

IL = ILe jψi

и U L =U Le jψu ,

получ м закон Ома для индуктивного элемента в комплексной форме

личина

С

ψ

+

π

jψ

j

2

= X LILe

u = X LILe

i

=

jX LIL .

(2.38)

UL

Входящая в

это выражение величина jXL = jωL называется

б

а обратная ей

комплексным сопрот влением индуктивного элемента,

ве

1/(jωL) = – jBL – комплексной проводимостью индуктивного

элемента.

Соотношен е между комплексными значениями тока и напря-

А

жения для индуктивного элемента наглядно иллюстрируется вектор-

ной диаграммой элемента (рис. 2.6,

).

Комплексное значение напряжения на индуктивном элементе

можно выразить и через комплексное значение потокосцепления

Д

(2.39)

Ψ = LIL .

Тогда выражение (2.38) примет вид

.

(2.40)

UL

= −EL = jωΨ

Полученное уравнение представляет закон электромагнитной

индукции в комплексной форме.

И

Если напряжение между выводами ёмкостного элемента изме-

няется по синусоидальному закону

uC =UCm sin(ωt +ψu ),

(2.41)

то согласно выражению (2.23) синусоидальный ток

du

C

cos(ωt +ψ

)

π

sin(ωt +ψ

), (2.42)

i =C

= ωCU

= I

sin ωt +ψ

+

= I

dt

2

C

Cm

u

Cm

u

Cm

i

где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

ICm = ωCUCm ,

(2.43)

а начальные фазы – соотношением

ψi = ψu +

π .

(2.44)

2

ϕ = ψu

−ψi

= −π.

(2.45)

сопроти

2

СВел ч на

X С

=

1

=

1

(2.46)

б

ωC

2πfC

называется ёмкостным

влением [Ом], а обратная величина

BC = ωC

(2.47)

А

– ёмкостной проводимостью [См].

Значения величин XС

и BС являются параметрами ёмкостных

элементов цепей синусоидального тока.

В противоположность индуктивному сопротивлению ёмкостное

сопротивление уменьшается с увеличением частоты синусоидального

Д

тока. При постоянном напряжении ёмкостное сопротивление беско-

нечно велико. Поэтому конденсатор, подключенный в цепь постоян-

ного тока, ток не пропускает.

а

I∙C

б

uС , iC

uC

∙

И

XC

UC

∙

+j

∙

UC

IC

0

iC

ωt

ψi

ψu

φ = –π/2 ψu

ψi

0

+1