1.7. Эквивалентные преобразования в резистивных цепях

В электрических цепях резисторы соединяются последователь-

но, параллельно или смешанно.

оединение резисторов называется последовательным, если к а-

ждый элемент соединён не более чем с двумя другими, причём так,

что с каждым из них у него есть только одна общая точка. Это озн

а-

чает, что в последовательном соединении не может быть узлов и, как

следств е,

во всех элементах протекает один и тот же ток. Общее на-

пряжен е

последовательном соединении равно сумме напряже-

ний на отдельных участках (рис. 1.10, а). В соответствии со вторым

С

законом Ома

законом К рхгофа

U =U1 +U2 +U3 = R1I + R2 I + R3I = (R1 + R2 + R3 )I = RI.

Поэтому

R = R + R

+ R .

2

при

1

3

а

I

R1

I

E

бU1

I1

I2

I3

r0

U

U2

R2

E

U

r0

G1

G2

G3

U3

А

R3

Рис. 1.10. Соединение резистивных элементов:

а – последовательное; б – параллельное

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из последова-

Д

тельно соединённых резисторов, равно сумме сопротивлений этих ре-

зисторов.

n

R =

∑Rk .

(1.23)

k =1

И

Резисторы включены параллельно, если они присоединены к од-

ной и той же паре узлов (рис. 1.10, б).

Напряжения на параллельно соединённых резисторах одинаковы.

Пользуясь первым законом Кирхгофа и законом Ома, можно записать

Следовательно,

G = G1 +G2 +G3 .

При параллельном соединении складывают проводимости уча-

стков цепи

n

1

n 1

.

(1.24)

G = ∑Gk или

R

= ∑

k=1

k=1Rk

При параллельном соединении токи в ветвях обратно пропор-

циональны сопрот влениям ветвей.

мешанное соед нение – это сочетание последовательного и па-

раллельного соед нен й. Для каждого смешанного соединения мож-

С

но

экв валентное сопротивление путём последовательных эк-

вивалентных прео разований. Рассмотрим эту задачу на примере

схемы р с. 1.11.

R1

a

R1

a

найти

R2

R4

R23

R4

R3

бR

R5

5

b

b

R1

Аa

R

R234

R5

Д

b

Рис. 1.11. Эквивалентное преобразование

смешанного соединения

Здесь изображены четыре ветви. В первуюИвходит резистор R1;

во вторую резисторы R2

и R3; в третью резистор R4

и в четвёртую – R5.

Вторая и третья ветви включены параллельно, т.к. обе соединены с

узлами a и b. Однако из этого не следует, что параллельно соединены

между собой элементы этих ветвей. Это было бы справедливо только

в том случае, если бы обе ветви состояли из одного элемента. На пер-

вом этапе эквивалентное преобразование возможно только для после-

довательного соединения R2

и R3

во второй ветви:

R23 = R2 + R3 . Те-

перь каждая из параллельных ветвей состоит из одного элемента, они

образуют параллельное соединение, для которого эквивалентное со-

противление

1

= 1

+

1

= R23 + R4

= R2 + R3 + R4 , R234

= (R2 + R3 )R4 .

R234

R23

R4

R23R4

(R2 + R3 )R4

R2 + R3 + R4

В результате получили последовательное соединение резисто-

ров с экв валентным сопротивлением

R

= R

+ R + R

234

=

R

+ R

+ (R2 + R3 )R4 .

С

1

5

1

5

R2 + R3 + R4

В сложных цепях встречаются соединения, которые нельзя све-

с

к комб нац

последовательных и параллельных. К ним относят-

ся соед нен я звездой и треугольником. Взаимное преобразование

ти

этих соед нен й часто позволяет получить более простые смешанные

соединен я.

В общем случае схему замещения цепи по схеме «n-лучевой

звезды» из резистивных элементов можно заменить эквивалентной

б

схемой в виде «n-стороннего треугольника». Обратное преобразова-

ние возможно в ограниченном числе случаев.

В частности, прео разования в обоих направлениях возможны

для

случая

треугольника

(рис.

1.12,

а)

и

трёхлучевой звезды

(рис. 1.12, б).

А

а

b

R3

б

b

R1

Д

Rb

R2

Rd

Rc

d

c

d

c

И

Рис. 1.12. Схемы соединения резистивных элементов:

а – треугольник; б – звезда