•

парамагн тные (μr > 1) – натрий, магний, литий;

•

ферромагн тные(μr >> 1) – железо, электротехническая

сталь, ферриты, пермаллой (сплав железа и никеля, обладающий вы-

С

сокой магн тной прон цаемостью μr до 10 000 и малой коэрцитивной

силой).

Из ферромагн

ных материалов с линейными свойствами изго-

товляют

магн топроводов для катушек индуктивности коле-

бательных контуров

высокой добротностью. Такие контуры приме-

участки

няются в разл чных рад отехнических устройствах.

5.4. Расчёт неразветвленной магнитной цепи

б

А

Прямой задачей

расчёта неразветвленной магнитной цепи

является определение МДС F, по заданным значениям магнитного

потока Ф или магнитной индукции В на некотором

участке

Д

магнитопровода (чаще всего с воздушным зазором) [6].

Проведём расчёт неразветвленной магнитной цепи (рис. 5.8, а) –

магнитопровод постоянного поперечного сечения S1, средней длиной

магнитной линии l1

первого участка из ферромагнитного материала и

шириной воздушного зазора l2 второго участка. Магнитные свойства

И

ферромагнитного материала заданы основной кривой намагничивания

В(Н) (рис. 5.8, б).

По закону полного тока для магнитной цепи,

H1l1 +H2l2 = wI = F ,

(5.9)

Значение магнитной индукции в воздушном зазоре

B2 = µ0 H2 ,

(5.10)

а для участка из ферромагнитного материала

B1 = µа1H1 .

(5.11)

магнитопровода

Φ = B1S1 = B2 S2 ,

(5.12)

где S1 и S2 – площади поперечного сечения участка из ферромагнит-

ного материала и воздушного зазора.

С

Зная магнитный поток Ф, найдём значения индукций B1 и B2.

Напряжённость H1

найдём по основной кривой намагничивания В(Н)

(рис. 5.8, б), H2 – по формуле (5.10) и МДС F – по формуле (5.9).

а

б

и

I

S1

B

B(H)

l1

S2

l2

B1

w

H1

H

Ф

бРис. 5.8. Расчёт неразветвленной магнитной цепи:

Обратной задачей расчёта неразветвленной магнитной цепи

является определение магнитного потока Ф или магнитной индукции

В по заданным значениямАМДС F.

Заменив в выражении (5.9) напряжённости магнитного поля зна-

чениями индукции B1

и B2

в соответствии с уравнениями (5.10) и

(5.11), получим

B1

B2

И

l

+

Дl = Iw = F

(5.13)

µ

а1

1

µ

0

2

или с учётом формулы (5.12)

l1

l2

Φ

+

= Φ(R

M1

+ R

M 2

)= Iw = F .

(5.14)

S2µ0

S1µа1

Ф

Ф(UM2)

Ф(UM1)

Ф

A

Ф(UM1+UM2)

С

UM1 UM2 F

UM

0

Р с. 5.9. Ве ер-амперные характеристики

и

б

Сu2

dx

w2

f-

w1

i2

и

u1

J1

J2

i1

Р с. 5.10. Взаимодействие катушек индуктивности

Под действ ем с лы притяжения f вторая катушка перемещает-

А

ся за время dt вдоль горизонтальной оси x на расстояние dx. За время

dt от двух источниковбпостоянного тока в рассматриваемую систему

поступит энергия

p1dt + p2dt = u1J1dt

+u2 J2dt ,

Д

где p1 и p2 – мгновенные значения мощности источников; u1

и u2 – на-

пряжения между выводами катушек.

Энергия источников тока без учёта потерь в проводах катушек

расходуется на механическую работу и на изменение энергии магнит-

ного поля системы:

И

u1J1dt +u2 J2dt = fdx + dWM .

(5.15)

Напряжения u1 и u2 между выводами катушек возникают вслед-

ствие изменения полных потокосцеплений в каждой из них:

Ψ1 = L1J1 + MJ2 ; Ψ2 = L2 J2 + MJ1.

(5.16)

u1 = dΨ1

dt ;

u2 = dΨ2 dt .

(5.17)

учётом формул (5.16) и (5.17) выражение (5.15) запишем в виде

J

dΨ + J

2

dΨ = d(L J 2 + L J 2

+ 2MJ

J

2

)= fdx + dW .

1

1

2

1

1

2

2

1

M

Энергия магнитного поля двух согласно включенных катушек

WM

=

L J

2

L J 2

(5.18)

1

1 +

2

2 + MJ1 J 2 .

и

2

СТогда

2

2dWM = fdx + dWM .

f

=

dWM

.

(5.19)

dx

А

Производная положительна, следовательно, электромеханиче-

ская сила fбстремится переместить подвижную катушку так, чтобы

энергия магнитного поля увеличилась.

Применим выражение (5.19)

I

для определения подъёмной силы

электромагнита, в котором маг-

нитное поле возбуждается током I

катушки (рис. 5.11). Энергию маг-

нитного поля в воздушном зазоре

S/2

S/2

высотой х и площадью поперечно-

Дго сечения S, если пренебречь маг-

x

x

нитным сопротивлением сердечни-

ка и якоря, вычисляют, согласно

f-

формулам (5.16) и (5.18), как

LJ 2

ΨI

WИ= = ,

Рис. 5.11. Подъёмная сила

M

2

2

где Ψ – потокосцепление катушки

электромагнита

электромагнита с

числом витков

W

=

(Iw)2 µ0S

.

M

2x

Подъёмная сила электромагнита может быть приближённо рас-

считана по формуле

С

= (Iw)2 µ0 S d(1 x)= −

(Iw)2 µ0 S

f = dWM

.

(5.20)

dx

2

dx

2x2

ледовательно, с

ла действует на якорь в направлении умень-

ности

шения зазора х, однако при х → 0 нельзя пренебречь магнитными со-

ременного тока.

Д

При расчётах цепей, содержащих катушки с магнитопроводом,

во многих случаях допустимы упрощения реальных условий.

Реальную катушку с магнитопроводом можно представить схемой

замещения в виде последовательного соединения резистивного

элемента

с

сопротивлением витков обмотки RВ, индуктивного

И

элемента

с

индуктивностью рассеяния Lрас

и так называемой

u0 = −e0 =U0m sin ωt = wdΦ/ dt .

(5.21)

RB

Lрас

i

Ф

e0

Идеализированная

е

u

u0

катушка

Р с. 5.12. Схема замещения реальной катушки с магнитопроводом

Из уравнен я (5.21)

С

dΦ = U0m sin ωt dt .

w

ледовательно, закон изменения во времени магнитного потока

U0m

U0m

cosωt =

U0m

sin

ωt −

π

.

(5.22)

иΦ = sin ωt dt = −

w

∫

wω

wω

2

При с нусо дальном напряжении на зажимах катушки магнит-

ный поток Ф, вызванный протекающим по цепи током i, тоже сину-

соидальныйби отстаёт по фазе от приложенного напряжения на π/2.

Амплитуда магнитного потока Фm не зависит от того, имеется ли

у катушки стальной сердечник или же магнитный поток целиком за-

мыкается по воздуху:

А

Φm = U0m

=

2U0

=

2U0

=

U0

.

(5.23)

wω

wω

w2πf

4,44 fw

Так как действующие значения U0 и E0

при отсутствии выход-

ной нагрузки в цепи магнитопровода равны, то

Д

(5.24)

E0 =U0 = 4,44 fwΦm .

Последнее соотношение применяют для расчетов ЭДС,

индуктируемых в обмотках трансформаторов, поэтому его часто

называют уравнением трансформаторной ЭДС.

И

Процесс намагничивания и размагничивания стального

сердечника протекает по несовпадающим ветвям петли гистерезиса.

График

зависимости

Ф(i)

при

циклическом

перемагничивании

(рис. 5.13) имеет такую же форму, как и петля гистерезиса В(Н). На

рис. 5.13 изображён график синусоидального изменения магнитного

потока во времени Ф(t).

Располагая кривыми Ф(i) и Ф(t), построим кривую

намагничивающего тока i(t). Полученная кривая намагничивающего

тока i(t) является несинусоидальной периодической функцией. Чем

больше насыщение магнитопровода, тем сильнее отличие тока от си-

нусоидального.

С

Ф

4

Ф

4

5

5

6

i

6

2π

3

3

π

ωt

2

2

7

1, 7

1

1

2

3

и

4

6

5

бπ π2 i

7

ωt

Рис. 5.13. Графики зависимостей тока и магнитного потока в катушке

А

Для построения расчётной схемы замещения катушки с

сердечником запишем уравнение

u = −e

+ L

рас

di

+ R

B

i

(5.25)

0

dt

или в комплексной форме

Д

U

= −E0

+(RB + jX L рас )I .

(5.26)

Полное комплексное сопротивление запишется как

И

Z = (RB +R0 )+ j(X L рас + X L0 ),

(5.27)

где R0 – активное сопротивление идеализированной катушки, обу-

словленное потерями на вихревые токи и гистерезис; XL0 – индуктив-

ное сопротивление идеализированной катушки; RВ – активное сопро-

тивление витков обмотки; XLрас – индуктивное сопротивление, вы-

званное рассеянием магнитного потока.