С

UC

=

IC

= X C IC .

(2.48)

ωC

Представив синусоидальные ток и напряжение ёмкостного эле-

мента соответствующими комплексными значениями

IC = IC e jψi

и UC =UC e jψu ,

нием

получ м закон Ома для ёмкостного элемента в комплексной форме

π

UC =

X C IC e jψu

j ψi −

(2.49)

=

X C IC e

2 = − jX C IC .

обратная

Вел ч на – jXС = 1/(jωС) называется

комплексным сопротивле-

ёмкостного элемента,

ей величина jωС = jBС –

комплексной провод мостью ёмкостного элемента.

А

2.5. Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока

бом узле, равна нулю [6]:

Д

n

n

∑ik = 0

или

∑Imk sin(ωt +ψik )= 0

,

(2.50)

k =1

k =1

По второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновен-

И

ных значений напряжений на резистивных, индуктивных и ёмкостных

элементах в любом контуре электрической цепи равна алгебраиче-

ской сумме мгновенных значений ЭДС этого контура:

n

p

n

p

∑uk =

∑ek или

∑Umk sin(ωt +ψuk )=

∑Emk sin(ωt +ψek ), (2.51)

k =1

k =1

k =1

k =1

n

∑Ik

= 0 ,

(2.52)

k=1

т.е. алгебраическая сумма комплексных значений токов всех ветвей,

сходящихся в каком-либо узле электрической цепи синусоидального

тока, равна нулю. При записи этого уравнения токи, направленные к

узлу, следует записать со знаком плюс, а направленные от узла – со

знаком минус (или наоборот).

На р с. 2.8, а построена векторная диаграмма трёх токов:

I

= I e jψi1

; I

= I

2

e jψi2 ;

I

= I

3

e jψi3 .

1

1

2

3

По первому закону Кирхгофа,

С

I1 + I2 − I3 = 0,

илиI1 + I2 = I3 .

U∙ L

jXL

∙

∙

∙

∙

∙

E1

E2

бI3

I1

I2

R

U∙R

+j

А+j

I∙3

I∙1

∙

∙

U∙R

∙

I∙2

UL

E2

E1

Д

0

+1

0

+1

а

б

Рис. 2.8. Применение законов Кирхгофа в комплексной форме:

И

а – первый закон; б – второй закон

n

p

∑Uk = ∑Ek ,

(2.53)

k =1

k =1

Напр мер, для контура рис. 2.8, б, по второму закону Кирхгофа,

С

U

R

−U

L

= E

− E

2

.

1

го тока достаточно сложные, так как физические процессы в различ-

ных элементах неодинаковы [1]. Рассмотрим графики мгновенных зна-

чений мощности отдельно для резистивного, индуктивного и ёмкост-

Д

ного элементов, подключенных к источнику напряжения (рис. 2.9).

В резистивномАэлементе ток и напряжение совпадают по фазе,

поэтому в любой момент времени мгновенное значение мощности

pR = uRiR =URmIRm sin2 ωt =

URmIRm

(1 −cos2ωt).

(2.54)

2

И

1

T

U 2

PR =

∫ pRdt =UR IR = RIR2 =

R .

(2.55)

T

0

R

ного элемента энергия накапливается.

С0

iR, uR, pR

pR

а

uR

и

iR

π

2π

3π

ωt

б

iL, uL, pL

pL

А

б

iL

uL

π/2

π

3π/2

2π 5π/2

3π ωt

0

И

iC, uC, pC

pC

uC Д

в

iC

0

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

ωt

T 4

T 4

I Lm

2

WM = ∫ pLdt =

∫uLiLdt =

∫ LiLdiL =

LILm

.

(2.57)

2

0

0

0

С

В течение следующей четверти периода мгновенная мощность

pL отрицательна, т.е. источник получает энергию от индуктивного

элемента.

реднее значен е мощности за период

мощности

PL = 0.

(2.58)

нусо дальный ток в индуктивном элементе не совершает ра-

боты. Поэтому в отл чие от резистивного элемента энергетический

режим

ндукт вного элемента принято определять не активной, а

реакт вной ндукт вной мощностью, равной максимальной мгно-

венной

:

QL =U L IL = X L IL2 .

(2.59)

А

Хотя размерности активной и реактивной индуктивной мощно-

стей совпадаютб, для измерения последней выбрана своя единица –вар.

Мгновенная мощность в ёмкостном элементе (рис. 2.9, в)

pC

= uCiC = −UCm ICm sin ωt cosωt =

UCm ICm

Д

= −

2

sin 2ωt = −UC IC sin 2ωt.

(2.60)

T 4

T 4

0

2

WЭ =

∫ pСdt =

∫uСiСdt =

∫CuC duC =

CUCm

.

(2.61)

2

0

0

−UCm

В ёмкостном элементе, так же как и в индуктивном, синусои-

дальный ток не совершает работы.

Энергетический режим ёмкостного элемента принято опреде-

лять реактивной ёмкостной мощностью, равной максимальной

мгновенной мощности:

QС = −UС IС = −X С IС2 .

(2.62)

Если

ндукт вный и ёмкостный элементы соединены последо-

вательно, то в моменты времени, когда энергия магнитного поля ин-

элемента увеличивается, энергия электрического поля ём-

костного элемента уменьшается, и наоборот. Следовательно, эти эле-

С

менты могут обмен ваться энергией не только с источником, но и

друг с другом.

2.7. Последовательное соединение резистивного, индуктивного

ёмкостного элементов

дуктивного

Комплексное напряжение на участке цепи, содержащем после-

довательное соединение резистивного, индуктивного и ёмкостного

элементов (брис. 2.10, а), определяется согласно второму закону Кирх-

гофа как сумма комплексных напряжений на каждом элементе [6]:

U =U

R

+U

L

+U

C

= RI + jX

L

I − jX

C

I .

(2.63)

А

а

+j

б

в

∙

U L

U L

UC

R

XL

XC

I

Z

U

Д

φ

U L

UC

XL – XC

U R

U L

UC

φ

0

U R

I

+1

R

U

UC

И

Рис. 2.10. Последовательное соединение RLC элементов:

а – схема соединения; б – векторная диаграмма тока и напряжений;

в – треугольник сопротивлений

U =

.

UR2 + (UL −UC )2

(2.64)

Сстороны треугольника напряжений разделить на силу тока,

получ тся треугольн к сопротивлений (рис. 2.10, в).

Комплексное сопротивление участка с последовательным со-

единен ем рез ст вного, индуктивного и ёмкостного элементов

Если

jϕ

,

(2.65)

Z = R + j(X L − X C )= Ze

где Z – полное сопрот вление последовательного RLC участка цепи;

φ – угол сдвига фаз между током и напряжением на этом участке.

б

Z =

R2 +(X L

−

XC )2 ;

(2.66)

ϕ = arctg

X L − XC

= ψu −ψi .

(2.67)

R

А

Закон Ома для последовательного RLC

участка цепи:

U

U

− X

).

(2.68)

I =

Z

= R + j(X

L

C

Если последовательно соединеныДнесколько резистивных,

индуктивных и ёмкостных элементов, то комплексное сопротивление

приводится к общему виду

Z = ∑Ri + j(∑ X Li −∑ X Ci )= R + jX ,

(2.69)

а

I∙

+j

∙

б

I∙

+j

I∙

U∙R

U

∙

U∙L

0

φ

+1

R

UR

R

∙

UR

∙

∙

φ

∙

∙

∙

X

U∙С

∙

∙

U XL

UL

I

UR

U

C

UС

0

+1

U

Р с. 2.11. Векторные диаграммы при смешанном характере нагрузки:

а – акт вно-

ндукт вный характер; б – активно-ёмкостный характер

С

Реж м работы последовательного RLC участка цепи синусоидаль-

ного тока (последовательного колебательного контура), при котором

ток и напряжен

на его выводах совпадают по фазе (φp = 0), называется

резонансом напряжен й [6].

Этот реж м

равенством действующих значений

характеризуется

UСр элементах при про-

напряжен й на

ндукт вном ULр

и ёмкостном

тивоположных фазах (р с. 2.12,

а), а также полным обменом энергий

меду индуктивным и ёмкостным элементами.

б

б

+j

а

I, U

UC

UL

U L

U L

А

U

U R =U

UC

UR

0

I

+1

I

0

Дω ω

ω

ωC

P

L

UC

Рис. 2.12. Резонанс напряжений:

а – векторная диаграмма; б – частотные характеристики

И

XLр = XСр.

(2.70)

I р =

U

=

U

=

U

= U .

(2.71)

R2 +( X Lр − X Cр )2

R2 +02

Z р

R

UR = U.

(2.72)

Резонансную частоту определяют из равенства

и

СX Lp = X Cp = ωp L =

1

,

ωpC

б

откуда

ωp =

1

.

(2.73)

LC

Характер ст ческое сопротивление колебательного контура

А

ρ = ωp L =

1

=

L

.

(2.74)

ωpC

C

Q =

ρ

.

(2.75)

R

Добротность контура равнаДотношению (при резонансе) реак-

тивной мощности индуктивного QL или ёмкостного

QС элемента к ак-

тивной мощности резистивного элемента:

И

Q =

ωp L

ωp LI 2

QLp

=

=

R

RI

2

P

p

или

Q =

1/(ωpC)

1/(ωpC) I 2

QCp

.

(2.76)

=

=

R

RI 2

Pp

ства энергии, поступающей от источника и компенсирующей энергию

потерь в активном сопротивлении, достаточны для поддержания неза-

тухающих колебаний в системе относительно больших количеств

энергии магнитного и электрического полей. При резонансе в любой

момент времени суммарная энергия электрического и магнитного по-

С

лей остаётся постоянной, т.е.

Cu2

2

W +W

M

=

C +

= const.

(2.77)

Э

2

2

резонансными

В аппаратуре связи, автоматики и т.д. большое практическое

значен е

меют зав

мости токов и напряжений цепей, в которых

возможен

,

от

частоты.

Эти зависимости

называются

кр выми (рис. 2.12, б). Ток в цепи зависит от угловой

частоты I(ω), так как от частоты зависит полное сопротивление Z кон-

тура, и дост гает

ольшего значения при резонансе. У идеального

последовательного коле ательного контура R = 0, т.е. при резонансе

полное сопрот влен е контура равно нулю (короткое замыкание для

источн ка п тан я).

А

Наибольшие значения напряжений на индуктивном и ёмкостном

элементах получаютсябпри угловых частотах, несколько отличающих-

ся от резонансной [2]. В частности, напряжение на ёмкостном элементе

UC =

1

I =

1

U =

U

=

U

.

ωC ωC Z

ωC R2

Д

2

+(ωL

−1/

(ωC))2

ω

2

R

2

C

2

+(ω

2

LC

−1)

минимально. Следовательно, для определения частоты ωС

нужно при-

И

равнять нулю первую производную от подкоренного выражения по ω:

2ωR2C2 +4ω3L2C2 −4ωLC = 0,

откуда

ω =

1 (LC)− R2 (2L2 )

= ω

p

1−1/(2Q2 )< ω

p

.

(2.78)

C

1

1

ωL = ωp

= ωp

1 −1 (2Q2 )> ωp .

(2.79)

1 − R2C /(2L)

Чем больше добротность колебательного контура Q, тем меньше

отличаются частоты ωС и ωL от резонансной частоты и тем острее все

три резонансные кривые: I(ω), UC(ω) и UL(ω).

В электротехнических системах в большинстве случаев резонанс

напряжений – явление нежелательное, т.к. реактивные напряжения мо-

гут в несколько раз превышать входные. В радиотехнике резонанс на-

пряжений применяется для настройки цепей на заданную частоту.

2.8. Параллельное соединение резистивного, индуктивного

С

ёмкостного элементов

На р

с. 2.13, а представлена схема электрической цепи, состоя-

щей

параллельного соединения резистивного, индуктивного и ём-

костного элементов. Для расчета разветвленных электрических цепей

пользуются вел ч ной, о ратной сопротивлению, – проводимостью.

Так, рез ст вный элемент имеет активную проводимость G, индук-

из

тивный –

ндукт вную проводимость BL и ёмкостный – ёмкостную

провод мость BC.

Комплексный ток на участке цепи, содержащем параллельное

соединениебрезистивного, индуктивного и ёмкостного элементов, оп-

ределяется согласно первому закону Кирхгофа как сумма комплекс-

ных токов каждого элемента [6]:

I =

I

+ I

+ I

= GU − jB U

+ jB U .

(2.80)

G

L

C

L

C

А

I∙

а

+j

б

в

I∙C

∙

G

G

BL

BC

IG

0

Д

U∙

I∙

U

+1

φ

I∙G

I∙L

I∙C

I∙C

Y

BL – BC

∙

∙

И

IL

IL

Рис. 2.13. Параллельное соединение RLC элементов:

а – схема соединения; б – векторная диаграмма токов и напряжения;

в – треугольник проводимостей

Y = 1 = G − j(B

L

− B

)=Ye− jϕ ,

(2.81)

Z

C

где Y –

полная

проводимость

параллельного

RLC участка цепи;

φ – угол сдвига фаз между током и напряжением на этом участке.

Y =

G2 +(B

L

−B )2 ;

(2.82)

C

ϕ = arctg

BL − BC

= ψu −ψi .

(2.83)

G

Закон Ома для параллельного RLC участка цепи:

СI =UY =U (G − jB

L

+ jB ).

(2.84)

C

Векторная д аграмма параллельного RLC участка цепи (рис.

2.13, б) уч тывает фазовые соотношения между током и напряжением

на рез ст вном,

и ёмкостном элементах. Разделив силы

токов (см. р с. 2.13,

) на напряжение, получим треугольник прово-

ндуктивном

димостей (р с. 2.13, в).

При расчёте

анализе электрических цепей реальная катушка ин-

дуктивности c сопротивлением ZK

замещается двумя элементами: рези-

стивным и биндуктивным, с параметрами GK и BL

(рис. 2.14). При этом

выделяют активную IG и реактивную IL

составляющие тока катушки IK:

IK =

IG2 + IL2 .

(2.85)

∙

∙

∙

IK

А∙

IK

+j

IG

UK

I∙G BL

I∙L

0

φK

+1

U∙K ZK

≡

U∙K

GK

Д∙ ∙

IL

∙

IL

IK

Рис. 2.14. Параллельная схема замещения и векторная диаграмма

токов и напряжения реальной катушки индуктивности

И

Полное сопротивление катушки индуктивности, согласно фор-

муле (2.66), будет вычисляться как

GK

=

RK

;

BL =

X L

.

(2.86)

ZK2

ZK2

С

G

G

B

B

R =

G2 + B2

=

Y 2

;

X =

G2 + B2

=

;

(2.87)

Y 2

G =

R

=

R

;

B =

X

=

X

.

(2.88)

R2

+ X 2

Z 2

R2

+ X 2

Z 2

характеризуется

Реж м параллельного

RLC

участка цепи синусоидального тока

(параллельного коле ательного контура), при котором угол сдвига фаз

между напряжен ем U на его выводах и общим током I равен нулю

(φp = 0), называется резонансом токов.

Этот реж м

равенством действующих значений

токов на

ндукт вном ILр

ёмкостном IСр элементах параллельных

ветвей при прот воположных фазах (рис. 2.15, а), а также полным

обменом энерг й между индуктивным и ёмкостным элементами.

IА

+j

ба

IC

IC

I

IL

I

Д

IC

I = IG

L

0

U

+1

IG

И

I L

ωp

ω

Рис. 2.15. Резонанс токов:

а – векторная диаграмма; б – частотные характеристики

соединённых параллельно:

BLр = BСр.

(2.89)