2.2.1. Параметры точности ряда измерений

Степень достоверности полученных числовых значений измерений величины, т. е. точность измерения, вполне и однозначно характеризуется средней квадратичной погрешностью ряда измерений:

_s = (2.10)

Параметр  определяет совокупность случайных погрешностей; ² называется рассеиванием или дисперсией.

Практически σ вычисляется по остаточным погрешностям υ конечного ряда измерений. Кроме параметра точности σ, в теории случайных погрешностей рассматриваются: вероятная погрешность ряда измерений ζ, средняя арифметическая погрешность ряда измерений , и наиболее возможная погрешность ряда измерений δ_lim. Погрешности ζ, и δ_lim связаны числовыми соотношениями со среднеквадратичной погрешностью и поэтому также являются параметрами точности и могут применяться для характеристики точности измерений:

ζ = 0,6745 σ; (2.11)

δ_lim = 3σ = 4,5 ζ; (2.12)

= 0,7979 σ ≈ 4/5 σ. (2.13)

Для вычисления средней арифметической погрешности ряда измерений пользуются также уравнением

= (2.14)

При увеличении числа измерений n свыше 25 средние погрешности ряда измерений мало изменяются по величине.

В математической статистике доказано, что среднее квадратическое отклонение выборочного среднего _s от своего математического ожидания может быть вычислено по формуле

_s = , (2.15)

где N – количество опробуемого материала, измеренное числом элементарных проб одинаковой массы (численность генеральной совокупности).

При небольших по массе пробах по сравнению с массой всей оп-робуемой партии материала отношение n / N близко к 0, следовательно, множитель (1– n / N), можно принять равным 1. Тогда уравнение 2.15 будет иметь вид

_s = (2.16)

Отсюда следует, что погрешность при составлении генеральной пробы является функцией неоднородности материала, выраженной _j, и числа элементарных проб n, из которых составляется генеральная проба. Чтобы уменьшить погрешность, необходимо иметь более однородный по качеству материал или увеличивать число проб.

Неоднородность качества материала по исследуемому признаку является свойством материала и часто не поддается управлению. Поэтому повышение точности пробы может быть практически достигнуто в результате увеличения числа элементарных проб, из которых составляется генеральная проба, характеризующая данную партию материала.

Если _j – заданное допустимое среднеквадратичное отклонение исследуемого признака j, то потребное количество элементарных проб

n = . (2.17)

Таким образом, теория случайных ошибок позволяет оценить точность и надежность измерения при данном количестве параллельных замеров или определить минимальное количество замеров, гарантирующее требуемую точность и надежность измерений. Наряду с этим возникает необходимость исключить грубые ошибки ряда, определить достоверность полученных данных и т. д.

В исследованиях наиболее часто применяется закон нормального распределения.

Для большой выборки и нормального закона распределения общими оценочными характеристиками измерения являются дисперсия D и коэффициент вариации k_в для параметра j:

D_j = = ; (2.18)

. (2.19)

Дисперсия характеризует однородность измерения. Чем выше D, тем больше разброс измерений. Коэффициент вариации характеризует изменчивость. Чем выше k_в, тем больше изменчивость измерений относительно средних значений; k_в оценивает также разброс при оценке нескольких выборок.

Доверительным называется интервал значений l_i, в который попадает истинное значение l_д измеряемой величины с заданной вероятностью. Доверительной вероятностью (достоверностью) измерения называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал, т. е. в зону а ≤ х_д ≤ b:

a_j = L_j – _j и b_j = L_j + _j. (2.20)

Величина _j является наибольшей допустимой погрешностью параметра j и определяется в долях единицы или процентах:

_j = = . (2.21)

Величина t является гарантийным коэффициентом. Допустимая погрешность _j для каждого из параметров j должна задаваться, поэтому ре-шение уравнения (2.21) относительно величины n_j позволяет определить число необходимых элементарных проб:

n = . (2.22)

Если отбор проб производится из движущегося непрерывного потока и пробы берутся через равные интервалы времени, то, обозначая Т – период отбора генеральной пробы (сменной, суточной и т. д.) в часах, τ – интервалы между отборами элементарных пробы в минутах, имеем

. (2.23)

Вероятность того, что истинные значения величины l_д измеренных показателей l_j попадут в пределы _j, называется доверительной вероятностью (достоверностью) р_д. Она определяется в долях единицы или в процентах и вычисляется по распределению Лапласа. Интегральная функция Лапласа определяется выражением

(t) = – . (2.24)

При числе повторений измерений n → ∞ вероятность того, что измеряемый параметр l_j находится в пределах –Δ_j ‹ l_j ‹ + ∆_j, велика и стремится к φ(t).Таким образом, при t = 0,5 вероятность того, что l_j находится в пределах –Δ_j ‹ l_j ‹ ∆_j, составляет 38 %; при t = 1,0 – 68 %; при t = 3 – 99,73 %.

Данная функция в литературе чаще всего приводится в табличной форме (табл. 2.1).

Если случайная величина измеренного параметра l_j значительно выходит за пределы –Δ_j ‹l_j ‹ + Δ_j , ее исключают из расчета.

Таблица 2.1