2.2. Математическая статистика измерений

С точки зрения математической статистики партию сырья, готовой продукции или отходов можно рассматривать как генеральную совокупность с несколько различными значениями качественных показателей. Результаты анализов отобранных проб из данной партии материала можно рассматривать как выборочную (конечную) совокупность. Изменения качественных показателей сырья и готовой продукции в силу ряда причин происходят случайно и подчиняются законам случайной вариации.

Важной задачей при изучении статистических совокупностей является нахождение приближенного выражения для функции распределения или плотности вероятности по эмпирическому материалу. Измеренные параметры для каждой пробы выборочной совокупности с учетом разных величин показателя, а также случайных и систематических погрешностей будут иметь несколько различные величины параметра l (или рассматриваемых параметров l₁, l₂, l₃, …l_j,…, l_k).

Генеральная совокупность характеризуется генеральной пробой, состоящей из n элементарных проб (численность выборочной совокупности).

Таким образом, каждый параметр l_j характеризуется числом значений измерений данного параметра n. Каждое из измерений l_j1, l_j2, l_j3,…, l_jn; содержит соответственно случайные погрешности δ₁, δ₂, δ₃,…, δ_n; причем погрешности l_j будут иметь вид

l_j1 = М_j + δ₁; l_j2 = М_j + δ₂; l_j3 = М_j + δ₃;…; l_n = М_j + δ_jn, (2.3)

где М_j – истинное значение параметра в генеральной совокупности, т.е. математическое ожидание данного параметра.

В связи с тем что истинное значение М_j неизвестно, принимаем вместо него некоторое значение L_j, являющееся наилучшим приближением к истинному и определяемое отдельными измерениями l₁, l₂, l₃,…, l_n:

L_j = F (l₁, l₂, l₃,…, l_n). (2.4)

Наилучшее определение L_j:

L = . (2.5)

Величина p называется массой измерений (масса материала, к которому относится анализируемая проба), а величина L – взвешенным средним материалом.

Отклонения отдельных измерений от среднего результата обозначают через :

₁ = l₁ – L;

₂ = l₂ – L;

… … … .

_n = l_n – L.

Эти отклонения называются остаточными погрешностями.

Взвешенное среднее имеет следующие свойства:

= 0; = min.

Если массы отдельных партий материала, от которых взяты пробы, одинаковы, то в этом случае

(2.6)

Арифметическое среднее значение имеет следующие свойства:

= 0; = min. (2.7)

Второе свойство лежит в основе метода обработки наблюдений, называемого "способом наименьших квадратов".

Теория случайных погрешностей основывается на двух положениях:

при очень большом числе измерений случайные погрешности, равные по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто;

малые погрешности случаются чаще, чем большие; очень большие погрешности не встречаются.

Если результаты измерений освобождены от систематических погрешностей, то при неограниченном увеличении числа измерений среднее арифметическое стремится к истинному значению измеряемой величины, а остаточные погрешности – к случайным погрешностям.

Следовательно, все теоретические выводы и предположения, относящиеся к случайным погрешностям, можно применять при достаточно большом числе измерений к остаточным погрешностям.

При повторных измерениях частота появления равных по величине случайных погрешностей подчиняется закону нормального распределения случайных погрешностей и выражается уравнением

у = , (2.8)

где y – частота появления случайных погрешностей определенного значения δ; σ – средняя квадратичная погрешность ряда измерений,

_j = . (2.9)