2.3.6. Аппроксимация экспериментальных данных

В процессе экспериментальных исследований получается статистический ряд измерений, когда каждому значению аргумента х₁, х₂,…х_n соответствует значение аргумента у₁, у₂,…,у_n.

На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраическое выражение функции

у = f(х), (2.39)

которое называется эмпирической формулой. Такие формулы подбираются лишь в пределах измеренных значений аргумента х₁ – х_n и имеют тем боль-шую ценность, чем больше соответствуют результатам эксперимента.

Эмпирические формулы должны быть по возможности наиболее простыми. Методы получения эмпирических формул называют аппроксимацией, а функции – аппроксимирующими.

Процесс аппроксимации состоит из двух этапов:

1 – нанести в определенном масштабе на график экспериментальные точки, соединить их плавной кривой и выбрать вид формулы;

2 – вычислить параметры формулы, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле.

Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений. Так, например, результаты измерений многих явлений и процессов аппроксимируются простейшими эмпирическими уравнениями.

При аппроксимации экспериментальных данных пользуются методом наименьших квадратов, обеспечивающим минимальное значение среднеквадратичного отклонения экспериментальных данных от расчетных. Формулы для расчета параметров уравнений для различных их видов методом наименьших квадратов приведены в специальной литературе. Более удобным и менее трудоемким является применение ЭВМ с использованием стандартных программ.

Для аппроксимации экспериментальных данных удобно использовать программу Microsoft Excel. При однофакторном анализе, когда его результаты зависят от одного переменного параметра, в случае применения простых формул, удобно использовать программу «Мастер диаграмм». Для этого открывают программу Microsoft Excel. Вводят в столбец А данные переменного параметра х, в столбец В функцию у, в главном меню открывают столбец «Вставка», а в нем – строку «Диаграмма». При этом откроется окно «Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы». Удобнее выбрать тип диаграммы «точечная». Вид «точечная диаграмма», позволяющий сравнить пары значений, вводят нажатием кнопки «Далее». После этого открывается окно «Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных». Устанавливают диапазон данных, обведя «мышкой» цифры в таблице по диагонали. При этом откроется окно «Исходные данные», а в нем – график с указанием экспериментальных точек, только без соединений точек линией.

Перейти в следующее окно, нажав кнопку «Далее». При этом откроется окно «Мастер диаграмм (шаг 3 из 4): тип диаграммы». Нажав на кнопку «Заголовки», ввести название диаграммы, название оси х, и название оси у, при этом данные названия появятся на графике. Нажатием на кнопку «Оси» установить галочки в окнах «Ось х – основные линии» и «Ось у – основные линии». Нажатием на кнопку «Легенда» определить расположение легенды (названия линии в графике). При одной линии на графике легенду можно снять, убрав галочку. Нажав на кнопку «Подписи данных», установить названия точек графика. Чаще всего ставят точку в окно «Нет». После этого нажимают кнопку «Готово». Окна исчезнут, в таблице останется график.

Далее необходимо открыть столбец в главном меню «Диаграмма», строку «Добавить линию тренда». При этом откроется окно «Линия тренда», в котором необходимо выбрать и выделить вид уравнения (линейное, логарифмическое, степенное, экспоненциальное, полиномиальное, скользящее среднее). Нажав на точку «Параметры», установить галочки в окнах «Показать уравнение на диаграмме» и в окне «Поместить на диаграмме величину достоверности аппроксимации» и ввести кнопкой «ОК». При этом будет рассчитано и приведено на графие уравнение аппроксимации, а также, приведена величина R²; кроме того, будет проведена линия графика на основании полученной формулы. Максимально возможное значение величины R² = 1. В случае недостаточной достоверности аппроксимации, можно задаться другим видом уравнения и повторить расчеты. Таким образом, можно подобрать уравнение, обеспечивающее наилучшую достоверность.

Пример. Подобрать эмпирическую формулу следующих измерений:

Переменный параметр: Результат измерений:
1 2 3 4 5 6 7	………………………….. 12,1 ………………………….. 19,2 ………………………….. 25,9 ………………………….. 33,3 ………………………….. 40,5 ………………………….. 46,4 ………………………….. 54,0

Открываем программу Microsoft Exсel. Вводим в таблицу исходные данные (результаты измерений из таблицы). В столбец А вводим переменные параметры, а в столбец В – результаты измерений.

В главном меню выделяем столбец «Вставка», в котором открыва- ем строку «Диаграмма…», при этом открывается окно «Мастер диаграмм (шаг 1)…». Выделяем тип диаграммы «точечная», вводим кнопкой «Да- лее >». Открывается окно «Мастер диаграмм (шаг 2)…». Устанавливаем диапазон и вводим кнопкой «Далее >». Открывается окно «Мастер диаграмм (шаг 3)…». Если график вырисовывать не будем, то можно продолжить выполнение операции кнопками «Далее >» и «Готово». При этом в поле таблицы появится график.

Далее в главном меню открываем столбец «Диаграмма», в нем выделяем строку «Добавить линию тренда». Откроется окно «Линия тренда», в котором выделяем вид уравнения – «линейное», нажав на кнопку «Параметры». При этом необходимо выделить строку «Автоматический» и галочками строки «Показать уравнение на диаграмме» и « Показать на диаграмме величину достоверности аппроксимации», ввести копкой «ОК».

На поле таблицы появятся график и уравнение:

у = 6,9536х + 5,2429 и R² = 0,9995. (2.40)

Если хотим описать зависимость другими уравнениями, то, повторив указанные действия выбрать вид уравнения – «Логарифмическое», получим уравнение

у = 21,148ln(x) + 7,3012 и R² = 0,9291. (2.41)

Если задаться разными видами уравнений, можно получить следующие зависимости:

степенную

у = 11,603х^0,7715 и R² = 0,9962; (2.42)

экспоненциальную

у = 11,402е^0,2392х и R² = 0,9534; (2.43)

полиномиальную 2-й степени

у = –0,0226х² + 7,1345х + 4,914 и R² = 0,9995; (2.44)

полиномиальная 3-й степени

у = 0,0028х³ – 0,056х² + 7,2484х + 4,8714 и R² = 0,9995. (2.45)

полиномиальная 4-й степени

у = 0,0201х⁴ – 0,3184х³ + 1,6792х² + 3,6462х + 7,1429 и R² = 0,9997; (2.46)

полиномиальная 5-й степени

у = 0,0254х⁵ – 0,4833х⁴ + 3,4517х³ –11,029х² + 22,58х + 2,4429 и R²=1. (2.47)

Из приведенных уравнений видно, что наиболее простой вид – линейное уравнение, которое дает достаточную достоверность. Более высокую достоверность обеспечивают более сложные виды уравнений – полиномиальные.

При нахождении более сложных эмпирических уравнений целесообразно использовать метод нахождения уравнений регрессии, как об этом было сказано ранее. Так, уравнение вида

у = b₀ +b₁х₁ + b₂х₂ + b₃х₃ + b₁₁х + b₂₂х + b₁₂х₁х₂ (2.48)

можно представить, как уравнение, имеющее 5 переменных факторов,

х₁, х₂, х₃, х₄ = х; х₅ = х; х₆ = х₁х₂. (2.49)

Тогда данное уравнение примет вид

у = b₀ + b₁х₁+ b₂х₂ + b₃х₃ + b₄х₄ + b₅х₅ + b₆х₆. (2.50)

Уравнение (2.50) можно назвать уравнением регрессии. Оно может быть решено с использование программы «Регрессия».