Матрицы. Операции над матрицами. Линейные преобразования и матрицы

Понятие матрицы было использовано нами в качестве вспомогательного инструмента при изучении систем линейных уравнений. Другие многочисленные применения сделали его предметом самостоятельной теории.

Матрицы связаны естественным образом с линейным преобразованием переменных. Под линейным преобразованием переменных будем понимать переход от одной системы переменных к другой .

(5.1)

Линейное преобразование задаётся посредством матрицы коэффициентов:

(5.2)

Def. Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами, которые называются элементами матрицы.

Используется также запись . Напомним, что первый индекс нумерует строки, а второй – столбцы.

Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами, а их элементы соответствующими строчными буквами с индексами.

Количество строк и столбцов определяет размер матрицы (об этом уже шла речь в лекции 1)

Def. Матрица, содержащая одну строку, называется матрицей-строкой (или вектор-строкой). Матрица, содержащая один столбец, называется матрицей-столбцом (или вектор-столбцом).

Def. Если все элементы матрицы равны 0, то такая матрица называется нулевой.

Def. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные вне главной диагонали, равны 0, то матрица называется диагональной.

(5.3)

Def. Диагональные матрицы, все элементы главной диагонали которых равны между собой, называют скалярными матрицами.

(5.4)

Def. Скалярная матрица, в которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей.

(5.5)

Def. Две матрицы называются равными, если равны их размерности и соответствующие элементы, т.е.

Линейные операции над матрицами

Def. Суммой двух матриц и размерности называется матрица той же размерности, где .

N. .

Def. Произведением матрицы на число называется матрица .

N. .

Def. Матрица называется противоположной к матрице и обозначается так: .

Def. Разность матриц определим как . Очевидно, что .

Свойства линейных операций над матрицами.

(коммутативность сложения); (ассоциативность сложения); , где 0 – нулевая матрица соответствующей размерности; ; ; (ассоциативность умножения на число); (дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел); (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц).

Эти свойства непосредственно вытекают из соответствующих определений.

Нелинейные операции над матрицами

Def. Произведением строки на столбец называется число равное .

Заметим, что произведение строки и столбца определено, если они имеют одинаковую длину.

Def. Матрицы называют согласованными, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Для согласованных матриц определяют их произведение.

Def. Произведением матриц и называется матрица , где

(5.6)

т.е. элемент произведения определяется как произведение i-ой строки матрицы А на j-ый столбец матрицы В.

N .

.

В примере акцентируется внимание на нахождении элемента матрицы-произведения. Для этого перемножаются 1-я строка первого множителя на 2-й столбец второго множителя.

Свойства произведения матриц:

(произведение матриц не коммутативно); (ассоциативность произведения матриц); (дистрибутивность произведения матриц); (дистрибутивность произведения матриц); ; ; .

Замечание. Эти свойства имеют место при условии, что все операции возможны.

Доказательство.

1. Для доказательства этого свойства достаточно привести контрпример.

Например, показать, что .

2. Пусть , и . Тогда , а . С другой стороны,

, а . Таким образом размерности матриц и одинаковы. Обозначим , , , . Если теперь покажем, что , то свойство доказано.

и

и далее .

Заметим, что , т.к. они состоят из одних и тех же слагаемых, только расположенных в различном порядке .

Идея доказательства свойств 3 – 6 прозрачна, а потому не приводим их.

В лекции 3 определялась операция транспонирования матрицы (формула 3.1). Эта операция носит общий характер, т.е. применима к любой матрице. Справедливы следующие свойства:

; ; . где ; .

Доказательство.

Свойства 1 – 3 проверяются непосредственно. Приведем доказатель­ство свойства 4.

Пусть и . Тогда и . С другой стороны, , и . Т.е. матрицы, стоящие в правой и левой частях равенства, имеют одинаковую размерность. Обозначим , , , , . Покажем, что .

Имеем: , .

С другой стороны,

.