- •И.Н. Реутова конспект лекций по алгебре и геометрии
- •Часть 1.
- •Содержание
- •Системы линейных уравнений и их матрицы. Сведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду (метод гаусса) Системы линейных уравнений и их матрицы.
- •Метод Гаусса
- •Перестановки и подстановки. Определитель n-го порядка
- •Перестановки
- •Подстановки
- •Определитель n-го порядка
- •Свойства определителей. Свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей. Правило крамера. Миноры и алгебраические дополнения
- •Вычисление определителей
- •1.Метод Гаусса.
- •2. На основании теоремы Лапласа.
- •3. Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.
- •Правило Крамера.
- •Матрицы. Операции над матрицами. Линейные преобразования и матрицы
- •Линейные операции над матрицами
- •Нелинейные операции над матрицами
- •Обратная матрица. Элементарные матрицы и их применение. Обратная матрица
- •Элементарные матрицы и их применение
- •Метод Жордана-Гаусса нахождения обратной матрицы
- •Векторное n-мерное пространство. Линейная зависимость векторов. Ранг матрицы. Общая теория систем линейных уравнений. Векторное n-мерное пространство
- •Линейная зависимость векторов
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Некоторые общие понятия алгебры. Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Группы. Кольца. Поля
- •Поле комплексных чисел
- •Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора. Основные понятия векторной алгебры
- •Линейные операции над векторами и их свойства
- •Линейная зависимость (независимость) векторов. Базис, координаты вектора
- •Декартова система координат. Координаты вектора
- •Проекция вектора на ось. Геометрический смысл декартовой системы координат. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось
- •Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторное, смешанное и двойное векторное произведение векторов Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Двойное векторное произведение векторов
- •Понятие об уравнении линии. Прямая на плоскости. Понятие об уравнении линии
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Другие виды уравнения прямой на плоскости
- •Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение пучка прямых
- •Плоскость в пространстве Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Пучок плоскостей
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Основные задачи на прямую в пространстве
- •1. Угол между двумя прямыми в пространстве.
- •3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Кривые второго порядка (продолжение) Директрисы эллипса и гиперболы
- •Парабола
- •Кривые второго порядка с осями симметрии параллельными координатным осям
- •Поверхности второго порядка
- •Эллипсоид
- •Однополостной гиперболоид
- •Двухполостной гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
- •Рекомендованная литература
Основные задачи на прямую в пространстве
1. Угол между двумя прямыми в пространстве.
Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями.
и
Угол между двумя прямыми однозначно определяется углом между их направляющими векторами и . Пусть угол между этими векторами. Тогда:
(15.7)
Формула (15.7) позволяет определить один из углов (острый или тупой) между прямыми.
Замечание. Если необходимо найти острый угол между прямыми, то его косинус находят по формуле:
(15.8)
2. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями:
|
Рис. 15.3 |
(рис. 15.3).
напрвляющие векторы прямых и соответственно.
Прямые и лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланарны, т.е.
(15.9)
N. Доказать, что прямые и скрещиваются.
Решение.
Воспользуемся условием (15.9) принадлежности прямых одной плоскости.
данные прямые не принадлежат одной плоскости, а значит, скрещиваются. Что и требовалось доказать.
3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Пусть задана прямая и точка Найдем расстояние от точки до прямой Отложим направляющий вектор прямой от точки |
Рис. 15.4 |
Очевидно, что искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенногона векторах и (рис. 15.4). Значит,
(15.10)
4. Расстояние между параллельными прямыми.
Пусть заданы параллельные прямые и Найдем расстояние между этими прямыми. Вектор – направляющий вектор данных параллельных прямых, Искомое расстояние равно высоте |
Рис. 15.5 |
параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 15.5). Значит,
(15.11)
5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
Пусть заданы две скрещивающиеся прямые:
и
Найдем расстояние между этими прямыми. Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда построенного на векторах и (рис. 15.6). Значит, , |
Рис. 15.6 |
Отсюда имеем:
(15.12)
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Прямая и плоскость в пространстве могут пересекаться или быть параллельными. В первом случае они имеют одну общую точку, а во втором не имеют таковых. Поэтому исследование взаимного расположения прямой и плоскости сводится к нахождению точек пересечения этих геометрических объектов. В случае пересечения прямой с плоскостью, их взаимное расположение может также характеризоваться углом, который образует прямая с плоскостью. Рассмотрим решение этих задач подробнее.