- •И.Н. Реутова конспект лекций по алгебре и геометрии
- •Часть 1.
- •Содержание
- •Системы линейных уравнений и их матрицы. Сведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду (метод гаусса) Системы линейных уравнений и их матрицы.
- •Метод Гаусса
- •Перестановки и подстановки. Определитель n-го порядка
- •Перестановки
- •Подстановки
- •Определитель n-го порядка
- •Свойства определителей. Свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей. Правило крамера. Миноры и алгебраические дополнения
- •Вычисление определителей
- •1.Метод Гаусса.
- •2. На основании теоремы Лапласа.
- •3. Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.
- •Правило Крамера.
- •Матрицы. Операции над матрицами. Линейные преобразования и матрицы
- •Линейные операции над матрицами
- •Нелинейные операции над матрицами
- •Обратная матрица. Элементарные матрицы и их применение. Обратная матрица
- •Элементарные матрицы и их применение
- •Метод Жордана-Гаусса нахождения обратной матрицы
- •Векторное n-мерное пространство. Линейная зависимость векторов. Ранг матрицы. Общая теория систем линейных уравнений. Векторное n-мерное пространство
- •Линейная зависимость векторов
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Некоторые общие понятия алгебры. Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Группы. Кольца. Поля
- •Поле комплексных чисел
- •Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора. Основные понятия векторной алгебры
- •Линейные операции над векторами и их свойства
- •Линейная зависимость (независимость) векторов. Базис, координаты вектора
- •Декартова система координат. Координаты вектора
- •Проекция вектора на ось. Геометрический смысл декартовой системы координат. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось
- •Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторное, смешанное и двойное векторное произведение векторов Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Двойное векторное произведение векторов
- •Понятие об уравнении линии. Прямая на плоскости. Понятие об уравнении линии
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Другие виды уравнения прямой на плоскости
- •Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение пучка прямых
- •Плоскость в пространстве Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Пучок плоскостей
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Основные задачи на прямую в пространстве
- •1. Угол между двумя прямыми в пространстве.
- •3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Кривые второго порядка (продолжение) Директрисы эллипса и гиперболы
- •Парабола
- •Кривые второго порядка с осями симметрии параллельными координатным осям
- •Поверхности второго порядка
- •Эллипсоид
- •Однополостной гиперболоид
- •Двухполостной гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
- •Рекомендованная литература
Ранг матрицы
Def. Ранг системы векторов – наибольшее число линейно независимых векторов этой системы (т.е. размерность линейной оболочки этих векторов).
Def. Рангом матрицы А называется ранг системы ее столбцов. Обозначается ранг матрицы r(A).
Th.7.9 |
(о ранге матрицы) Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров. |
Доказательство.
Пусть наибольший порядок миноров, отличных от нуля, равен r и этот минор М расположен в левом верхнем углу (7.3).
(7.4)
Т.к. , то согласно теореме 7.8. его столбцы линейно независимы. Значит и столбцы 1, 2, …,r матрицы А. Действительно, если бы они были линейно зависимыми, то эта зависимость сохранилась бы и для столбцов минора М. Докажем, что произвольный столбец является линейной комбинацией столбцов 1, 2, …,r.
Построим вспомогательный определитель окаймлением минора М элементами -го столбца и i-ой строки:
(7.5)
Если , то , т.к. содержит одинаковые строки. Если же , то - минор r+1 – го порядка, а наибольший отличный от нуля минор имеет порядок r, следовательно, .
Разложим по присоединенной строке.
.
Заметим, что .
Кроме того,
не зависит от выбранной строки i. Обозначим .Тогда:
.
Отсюда . Таким образом, l-ый столбец является линейной комбинацией столбцов 1, 2, …,r .
Следствие 1. Ранг системы векторов равен рангу системы строк и равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров |
Def. Минор наибольшего порядка, отличный от нуля называется базисным минором, а строки и столбцы, которые его содержат, называют базисными строками и столбцами.
Следствие 2. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. |
Следствие 3. Отбрасывание нулевой строки (столбца) или одной из двух равных строк (столбцов) не меняет ранга матрицы. |
Следствие 4. Отбрасывание строки (столбца), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) не меняет ранга матрицы. |
Следствие 5. Если матрица А имеет ступенчатый вид, то ее ранг равен числу ненулевых строк. |
Замечание 1.
Доказанная теорема дает практический метод вычисления ранга матрицы. При доказательстве теоремы мы не рассматривали все миноры (r+1)-го порядка, а лишь окаймляющие миноры, поэтому из равенства нулю лишь этих миноров вытекает, что r – максимальное число линейно независимых столбцов матрицы.
Таким образом, имеем следующее правило вычисления ранга матрицы, которое носит название метода окаймляющих миноров.
Если найден минор k-го порядка матрицы А отличный от нуля, то вычисляют все окаймляющие миноры (k+1)-го порядка. Если все они равны 0, то .
N. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.
Решение.
Вычислим минор, расположенный в первых двух строках и первых двух столбцах.
. Значит, . Вычислим все окаймляющие миноры:
.
Таким образом, .
Ответ:
Замечание 2. Следствие 5 из теоремы о ранге дает другой способ вычисления ранга матрицы: матрицу сводят к ступенчатому виду, а затем подсчитывают количество ненулевых строк.
N. Вычислить ранг матрицы .
Решение. Сведем матрицу А к ступенчатому виду.
(поскольку имеем две ненулевые строки) .
Ответ: