Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
lec_alg_i_geom.doc
Скачиваний:
28
Добавлен:
14.11.2019
Размер:
5.28 Mб
Скачать

Ранг матрицы

Def. Ранг системы векторов – наибольшее число линейно независимых векторов этой системы (т.е. размерность линейной оболочки этих векторов).

Def. Рангом матрицы А называется ранг системы ее столбцов. Обозначается ранг матрицы r(A).

Th.7.9

(о ранге матрицы)

Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров.

Доказательство.

Пусть наибольший порядок миноров, отличных от нуля, равен r и этот минор М расположен в левом верхнем углу (7.3).

(7.4)

Т.к. , то согласно теореме 7.8. его столбцы линейно независимы. Значит и столбцы 1, 2, …,r матрицы А. Действительно, если бы они были линейно зависимыми, то эта зависимость сохранилась бы и для столбцов минора М. Докажем, что произвольный столбец является линейной комбинацией столбцов 1, 2, …,r.

Построим вспомогательный определитель окаймлением минора М элементами -го столбца и i-ой строки:

(7.5)

Если , то , т.к. содержит одинаковые строки. Если же , то - минор r+1 – го порядка, а наибольший отличный от нуля минор имеет порядок r, следовательно, .

Разложим по присоединенной строке.

.

Заметим, что .

Кроме того,

не зависит от выбранной строки i. Обозначим .Тогда:

.

Отсюда . Таким образом, l-ый столбец является линейной комбинацией столбцов 1, 2, …,r .

Следствие 1. Ранг системы векторов равен рангу системы строк и равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров

Def. Минор наибольшего порядка, отличный от нуля называется базисным минором, а строки и столбцы, которые его содержат, называют базисными строками и столбцами.

Следствие 2. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Следствие 3. Отбрасывание нулевой строки (столбца) или одной из двух равных строк (столбцов) не меняет ранга матрицы.

Следствие 4. Отбрасывание строки (столбца), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) не меняет ранга матрицы.

Следствие 5. Если матрица А имеет ступенчатый вид, то ее ранг равен числу ненулевых строк.

Замечание 1.

Доказанная теорема дает практический метод вычисления ранга матрицы. При доказательстве теоремы мы не рассматривали все миноры (r+1)-го порядка, а лишь окаймляющие миноры, поэтому из равенства нулю лишь этих миноров вытекает, что r – максимальное число линейно независимых столбцов матрицы.

Таким образом, имеем следующее правило вычисления ранга матрицы, которое носит название метода окаймляющих миноров.

Если найден минор k-го порядка матрицы А отличный от нуля, то вычисляют все окаймляющие миноры (k+1)-го порядка. Если все они равны 0, то .

N. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Решение.

Вычислим минор, расположенный в первых двух строках и первых двух столбцах.

. Значит, . Вычислим все окаймляющие миноры:

.

Таким образом, .

Ответ:

Замечание 2. Следствие 5 из теоремы о ранге дает другой способ вычисления ранга матрицы: матрицу сводят к ступенчатому виду, а затем подсчитывают количество ненулевых строк.

N. Вычислить ранг матрицы .

Решение. Сведем матрицу А к ступенчатому виду.

(поскольку имеем две ненулевые строки) .

Ответ:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]