Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lec_alg_i_geom.doc

Скачиваний:

Добавлен:

14.11.2019

Размер:

5.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(7.6)

- матрица СЛУ (7.6), - расширенная матрица СЛУ(7.6).

Очевидно, что . Вопрос о совместности системы линейных уравнений решается с помощью следующей теоремы.

Th.7.9

(Кронекера – Капелли)

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда в ступенчатой матрице к которой сводится расширенная матрица этой системы появляется строка вида , где . А это означает, что . Таким образом, система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда .

Леопо́льд Кро́некер (7.12.1823 — 29.12.1891) — немецкий математик. Основные труды по алгебре и теории чисел. Большое значение имеют его исследования по арифметической теории алгебраических величин.

Теорема Кронекера-Капелли утверждает существование решения СЛУ, но не указывает практического способа их отыскания. Укажем способ их нахождения.

Пусть СЛУ (7.6) совместна, т.е. . Пусть линейно независимыми являются первые r строк матрицы А и первые r строк матрицы Значит любая другая строка матрицы является линейной комбинацией 1,2,…,r строк. Тогда решение первых r уравнений удовлетворяет остальным. Таким образом, система (7.6) сводится к системе (7.7):

(7.7)

Если , то число уравнений равно числу неизвестных и кроме того . Значит, согласно тереме Крамера, СЛУ имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера.

Если , то число уравнений меньше, чем число неизвестных и существует минор матрицы А r-го порядка отличный от 0. Пусть он расположен в первых r столбцах. Оставим в левой части каждого уравнения первые r слагаемых, а остальные перенесем в правую часть:

(7.8)

В СЛУ (7.8) главный определитель . Если применить к (7.8) правило Крамера, то она имеет единственное решение. Значит, значения выбираем свободно (их называют свободные переменные) и для каждого набора найдем . Таким образом, СЛУ имеет множество решений.

N. Решить систему линейных уравнений .

Решение.

Данная СЛУ имеет три неизвестные. Вычислим ранги обеих матриц. . Значит СЛУ совместна и имеет бесконечное множество решений. Базисными строками матриц А и являются первые две строки. Поэтому оставим первые два уравнения системы, а переменную z считаем свободной и переносим ее в правую часть уравнений:

(7.9)

Решаем полученную систему по правилу Крамера.

, , .

Откуда .

Ответ: .

Системы линейных однородных уравнений

Рассмотрим систему линейных однородных уравнений:

(7.9)

Очевидно, что , т.к. отличается от А наличием нулевого столбца. Значит, система линейных однородных уравнений (СЛОУ) всегда

совместна. Пусть .

Если , то СЛОУ имеет единственное решение. Если - то множество решений.

Теорема 7.10 выражает свойства решений СЛОУ.

Th.7.10

Если – решение СЛОУ (7.9), то любая их линейная комбинация является решением СЛОУ (7.9).

Доказательство.

СЛОУ (7.9) запишем в матричном виде: АХ=0. Т.к. - решение СЛОУ (7.9), то .

Рассмотрим . Тогда .

Значит, С – решение СЛОУ (7.9) .

Следствие 1. Множество решений СЛОУ образует линейное подпространство пространства .

Def. Фундаментальной системой решений (ФСР) СЛОУ называется базис линейного подпространства ее решений.

Заметим, что СЛОУ имеет ФСР только в том случае, если она неопределенная. Причем таких ФСР бесконечное множество.

Th.7.11

(о ФСР СОЛУ)

Пусть в СЛОУ (7.9) . Если , то ФСР СЛОУ состоит из n-r решений.

Доказательство.

Пусть - свободные переменные СЛОУ (7.9). Рассмотрим произвольный определитель (n-r)-го порядка

(7.10)

Выберем элементы определителя d в качестве свободных переменных, получим n-r решений СЛОУ (7.9):

(7.11)

Покажем, что – базис линейного подпространства решений СЛОУ. Для этого необходимо показать, что они линейно независимы и любое другое решение СЛОУ является их линейной комбинацией.

n-мерные векторы – линейно независимы. Действительно, если бы они были линейно зависимы, то эта зависимость перенеслась бы и на последние n-r элементов, т.е на строки определителя (7.10). Но тогда, согласно критерию равенства нулю определителя, а это не так.

Пусть – произвольное решение СЛОУ (7.9). Покажем, что – линейная комбинация .

Рассмотрим (n-r)-мерные векторы, компонентами которых служат строки определителя d:

(7.12)

Векторы – линейно независимы, т.к. Введем в рассмотрение еще один (n-r)-мерный вектор (его компоненты совпадают с последними n-r компонентами вектора ).

Система (n-r)-мерных векторов – линейно зависима согласно теореме 7.7. Значит, на основании теоремы 7.6 можно сделать вывод о том, что

(7.13)

Рассмотрим n-мерный вектор . На основании теоремы 7.10 можно утверждать, что – решение СЛОУ (7.9). Из соотношения (7.13) следует, что все компоненты вектора , соответствующие свободным переменным равны 0. Но тогда – тривиальное решение СЛОУ (7.9), т.е. . Значит, .

Таким образом, доказано, что образуют ФСР СЛОУ (7.9) .

Теорема 7.11 дает практический способ нахождения ФСР для СЛОУ: свободным переменным придают значения элементов (по строкам) любого определителя (n-r)-го порядка, отличного от нуля. Полученные при этом решения СЛОУ образуют ФСР. В качестве указанного определителя удобно брать определитель единичной матрицы (n-r)-го порядка.

N. Найти ФСР для СЛОУ