- •И.Н. Реутова конспект лекций по алгебре и геометрии
- •Часть 1.
- •Содержание
- •Системы линейных уравнений и их матрицы. Сведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду (метод гаусса) Системы линейных уравнений и их матрицы.
- •Метод Гаусса
- •Перестановки и подстановки. Определитель n-го порядка
- •Перестановки
- •Подстановки
- •Определитель n-го порядка
- •Свойства определителей. Свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей. Правило крамера. Миноры и алгебраические дополнения
- •Вычисление определителей
- •1.Метод Гаусса.
- •2. На основании теоремы Лапласа.
- •3. Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.
- •Правило Крамера.
- •Матрицы. Операции над матрицами. Линейные преобразования и матрицы
- •Линейные операции над матрицами
- •Нелинейные операции над матрицами
- •Обратная матрица. Элементарные матрицы и их применение. Обратная матрица
- •Элементарные матрицы и их применение
- •Метод Жордана-Гаусса нахождения обратной матрицы
- •Векторное n-мерное пространство. Линейная зависимость векторов. Ранг матрицы. Общая теория систем линейных уравнений. Векторное n-мерное пространство
- •Линейная зависимость векторов
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Некоторые общие понятия алгебры. Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Группы. Кольца. Поля
- •Поле комплексных чисел
- •Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора. Основные понятия векторной алгебры
- •Линейные операции над векторами и их свойства
- •Линейная зависимость (независимость) векторов. Базис, координаты вектора
- •Декартова система координат. Координаты вектора
- •Проекция вектора на ось. Геометрический смысл декартовой системы координат. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось
- •Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторное, смешанное и двойное векторное произведение векторов Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Двойное векторное произведение векторов
- •Понятие об уравнении линии. Прямая на плоскости. Понятие об уравнении линии
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Другие виды уравнения прямой на плоскости
- •Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение пучка прямых
- •Плоскость в пространстве Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Пучок плоскостей
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Основные задачи на прямую в пространстве
- •1. Угол между двумя прямыми в пространстве.
- •3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Кривые второго порядка (продолжение) Директрисы эллипса и гиперболы
- •Парабола
- •Кривые второго порядка с осями симметрии параллельными координатным осям
- •Поверхности второго порядка
- •Эллипсоид
- •Однополостной гиперболоид
- •Двухполостной гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
- •Рекомендованная литература
Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей. Правило крамера. Миноры и алгебраические дополнения
Def. Пусть дан определитель n-го порядка. Выберем в нем произвольные k строк и k столбцов ( ). Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называют минором k-го порядка (М) определителя .
Def. Если вычеркнуть строки и столбцы, на пересечении которых находится минор М, то оставшиеся элементы образуют матрицу порядка n-k, определитель которой называется дополнительным минором к минору М и обозначается .
В частности, дополнительный минор к элементу обозначается .
Def. Пусть минор k-го порядка расположен в строках с номерами и в столбцах с номерами . Обозначим
Алгебраическим дополнением для минора М называют число .
В частности, алгебраическое дополнение к элементу обозначается и .
N . Пусть дан определитель .
– минор 2-го порядка, – дополнительный минор к , – алгебраическое дополнение для .
Смысл алгебраического дополнения становится ясен из следующей леммы.
Lemma |
Произведение любого минора определителя на его алгебраическое дополнение есть сумма, слагаемые которого являются некоторыми членами определителя |
Доказательство.
1) Рассмотрим сначала случай, когда выбранный минор k-го порядка расположен в верхнем левом углу определителя.
Произвольный член минора М имеет вид , где l – число инверсий в перестановке . Произвольный член его дополнительного минора имеет вид , где t – число инверсий в перестановке .
Члены алгебраического дополнения будут получены из членов минора умножением на , т.е. будут равны членам дополнительного минора.
Произведение членов и имеют вид .
Элементы расположены в разных строках и разных столбцах определителя. Найдем знак, с которым входит произведение в определитель. Для этого определим число инверсий в перестановке . Все принимают значения от 1 до k, а принимают значения от k+1 до n, поэтому между собой и не будут образовывать инверсии и общее число инверсий равно l+t, т.е. слагаемые, входящие в произведение и равны членам определителя.
2) Рассмотрим общий случай. Пусть минор расположен в строках с номерами с номерами и в столбцах с номерами .
Переставляя строки и столбцы определителя, передвинем минор в верхний левый угол. Для этого строку поменяем местами со всеми предыдущими, передвинув на первое место, т.е. выполним транспозицию.
Для того, чтобы строка заняла второе место, подвергнем ее транспозиции и т.д., строку подвергнем транспозициям. Всего транспозиций строк: . В результате минор М будет расположен в первых k строках.
Далее последовательно переставляем столбцы: , пока он не займет первое место, , пока он не займет второе место и т.д. Имеем всего транспозиций столбцов. Полученный определитель отличается от исходного множителем . Согласно доказанному в первом случае, произведение состоит из слагаемых, входящих в состав определителя.
Th.4.1 |
(теорема Лапласа) Сумма произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках, на соответствующие им алгебраические дополнения равно определителю. |
Доказательство.
– суммa нескольких слагаемых определителя. Пересчитаем число всех таких слагаемых в произведении всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках.
Число слагаемых в миноре k-го порядка равно , число слагаемых в его алгебраическом дополнении . Тогда содержит слагаемых.
Количество миноров k-го порядка в выбранных строках равно . Значит, сумма произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках, на их алгебраические дополнения содержит слагаемых, т.е. равна соответствующему определителю.
Теоремы 4.2 и 4.3 являются следствиями теоремы Лапласа.
Th.4.2 |
(разложение определителя по строке или столбцу) Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. (4.1) или (4.2) |
Формула 4.1 называется разложением определителя по элементам строки, а формула 4.2 – разложением определителя по элементам столбца.
Th.4.3. |
(Определитель с углом нулей) П усть , где B – матрица размера и D – матрица размера . тогда . |
Доказательство.
Для доказательства достаточно разложить определитель по теореме Лапласа, выбирая миноры n-го порядка в первых n строках.