Векторное n-мерное пространство. Линейная зависимость векторов. Ранг матрицы. Общая теория систем линейных уравнений. Векторное n-мерное пространство

Def. Упорядоченный набор чисел , где называется n-мерным вектором; называются компонентами вектора .

Def. Два вектора и называются равными, если .

Def. Суммой двух векторов и называют вектор .

Def. Произведением вектора на число называется вектор . При этом векторы и называют пропорциональными.

Def. Под разностью векторов понимают .

Непосредственно из определений суммы векторов и произведения вектора на число вытекают следующие свойства этих операций:

1. (коммутативность); 2. (ассоциативность); 3. (нулевой вектор) такой, что ; 4. (противоположный вектор) такой, что ; 5. (дистрибутивность относительно умножения на вектор); 6. (дистрибутивность относительно умножения на число); 7. .

Def. Множество всех n-мерных векторов с введенными операциями сложения векторов и умножения на число так, как это сделано выше, называется n-мерным векторным пространством ( ).

Def. Линейным подпространством пространства называется любое его подмножество, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число.

N. Множество векторов вида является линейным подпространством пространства .

Линейная зависимость векторов

Def. Вектор вида называется линейной комбинацией векторов .

Def. Линейная комбинация называется тривиальной, если . В противном случае она называется нетривиальной.

Def. Множество всех линейных комбинаций векторов называется их линейной оболочкой.

Очевидно, что линейная оболочка векторов является линейным подпространством.

Def. Векторы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю, т.е. и

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Def. Векторы называются линейно независимыми, если тогда и только тогда, когда .

N. Докажите, что векторы , , …, являются линейно независимыми.

Доказательство.

Действительно, составим их линейную комбинацию и найдем значения , при которых она равна .

Откуда . Т.е. данные векторы линейно независимы .

Th.7.1

(основная теорема о линейной зависимости векторов) линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

1) Пусть векторы линейно зависимы. Тогда

и

Пусть , тогда .

2) Пусть . Тогда , т.е. существует нетривиальная линейная комбинация векторов , равная нулю .

Очевидными являются следующие свойства линейной зависимости векторов.

Th.7.2

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Th.7.3

Если система векторов содержит два равных (пропорциональных) вектора, то она линейно зависима.

Th.7.4

Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима.

Th.7.5

Если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема линейно независима.

Th.7.6

Если - линейно независимы, а - линейно зависимы, то является линейной комбинацией векторов .

Th.7.7

В любые s (s>n) векторов являются линейно зависимыми.

Доказательство.

Пусть , , …, данные векторы. Составим их линейную комбинацию и приравняем к нулю:

. (7.1)

Равенство (7.1) можно записать в виде однородной системы линейных уравнений:

(7.2)

В системе (7.2) число неизвестных больше числа уравнений, значит она неопределенная, а значит, имеет нетривиальное (ненулевое) решение. Таким образом система векторов линейно зависима, поскольку нашлась их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю.

Th.7.8

(критерий равенства нулю определителя) Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство.

Учитывая свойство равноправия строк и столбцов определителя, докажем теорему только для строк.

1) Пусть строки определителя линейно зависимы, тогда одна из них (например, i-я строка) есть линейная комбинация остальных. Вычтем из i-ой строки эту линейную комбинацию остальных. В результате i-я строка станет нулевой, а значит определитель равен нулю .

2) Пусть , тогда и .

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:

(7.3)

, а значит, система имеет бесконечное множество решений, т.е. существует нетривиальное решение и . Таким образом, столбцы определителя (а они являются строками определителя ) являются линейно зависимыми .

Def. Система векторов подпространства L пространства называется его базисом, если:

1) она линейно независима;

2) любой вектор из L является их линейной комбинацией.

Из теоремы 7.7. следует, что базис состоит из n линейно независимых векторов. Например, базисом пространства является система векторов , , …, .

Def. Размерностью подпространства L называется количество векторов в базисе и обозначается dim L.