Декартова система координат. Координаты вектора

Def. Афинной системой координат в пространстве называется совокупность точки, называемой началом координат, и базиса

Def. Если то система координат называется декартовой системой координат.

Def. Координатами точки в аффинной системе координат называются координаты ее радиус вектора (рис. 10.12).

Таким образом, если то

Def. Если из конца вектора поворот от к виден против часовой стрелки, то называют правой тройкой векторов, а соответствующую систему координат называют правой системой координат (рис. 10.13). Если же такой поворот виден по часовой стрелке, то называют левой тройкой векторов, а соответствующую систему координат левой системой координат (рис. 10.14).

Def. Если и то базис называется ортонормированным, а соответствующая система координат – прямоугольной декартовой системой координат.

Рис. 10.12

Рис. 10.13

Рис. 10.14

Базис прямоугольной декартовой системы координат принято обозначать (рис. 10. 15).

Таким образом, если в прямоугольной декартовой системе координат то ее радиус-вектор имеет следующее разложение:

Оси сонаправленные с базисными векторами называют координатными осями абсцисс, ординат и аппликат соответственно ( ). Найдем координаты вектора если известны координаты его начала и его конца. Пусть и в некоторой системе координат. Найдем координаты Согласно определению координат точки и (рис. 10.16). Тогда:

Рис. 10.15 Рис. 10.16

(10.10)

Пусть заданы , и некоторая точка которая делит отрезок АВ в отношении m:n, считая от точки А, т.е. Найдем координаты точки

Очевидно, что

Получаем:

Отсюда

Аналогично находим и Таким образом,

(10.11)

Формулы (10.11) носят название формул деления отрезка в заданном отношении.

Проекция вектора на ось. Геометрический смысл декартовой системы координат. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось

Def. Прямая называется осью, если на ней задано положительное направ­ление. Направление оси задается вектором (направляющий вектор оси).

Def. Пусть задана некоторая ось и точка Проведем Точка называется проекцией точки на ось (рис. 11.1)

Def. Пусть - проекция точки на ось а - проекция точки на ось (рис. 11.2) Тогда называется векторной проекцией на ось (на вектор ).

Def. Скалярной проекцией (или проекцией) вектора на ось (на вектор ) называется число, равное и взятое со знаком плюс, если и со знаком минус, если Обозначают или . Т.е.

(11.1)

Легко видеть, что если

Рис. 11.1

Рис. 11.2

Рис. 11.3

Th.11.1

(свойства проекции вектора на ось) 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью, т.е. (11.2) 2. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т.е. (11.3) 3. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых, т.е. (11.4)

Доказательство.

1. Действительно, пусть уго между и Если (рис. 11.3), то , поэтому

Если (рис. 11.4), то и .

Рис. 11.4

2. Если то (рис. 11.5). Тогда:

.

Если то (рис. 11.6). В этом случае имеем:

.

Рис. 11.5

Рис. 11.6

Рис. 11.7

3. Доказательство проведем для двух слагаемых. Возможны два случая.

Если проекции обоих векторов положительные числа (рис. 11.7), то .

Если одна из проекций отрицательна (рис. 11.8), то Что и требовалось доказать . Замечание. Данное свойство можно обобщить на любое конечное число слагаемых.

Рис. 11.8