Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка

Некоторые из рассмотренных поверхностей второго порядка можно образовать движением одной прямой. Это очевидно для цилиндра и конуса. Оказывается, что однополостной гиперболоид и гиперболический параболоид также являются поверхностями, состоящими из прямолинейных образующих.

Рассмотрим однополостной гиперболоид, заданный своим каноническим уравнением

(18.21)

Перепишем его в виде

_или

(18.22)

Рассмотрим прямую

(18.23)

Если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнениям (18.23), то ее координаты очевидно удовлетворяют и (18.22). Значит, соотношение (18.23) задает семейство прямых, лежащих на однополостном гиперболоиде.

Покажем теперь, что через любую точку однополостного гиперболоида проходит некоторая прямая семейства (18.23). Пусть точка принадлежит однополостному гиперболоиду, тогда

(18.24)

Выберем и так, чтобы

(18.25)

Докажем, что т.е. что точка принадлежащая однополостному гиперболоиду, принадлежит также прямой, определяемой уравнениями (18.23). Пусть

(18.26)

Из (18.25) и (18.26) следует, что что противоречит соотношению (18.23).

Def. Прямые (18.22) называют прямолинейными образующими однополостного гиперболоида (рис. 18.11).

Рассмотрим теперь гиперболический параболоид, заданный своим каноническим уравнением

Переписав это уравнение в виде заметим, что любая прямая, определяемая уравнениями (18.27)

Рис. 18.11

или

(18.28)

при любых, не равных одновременно нулю значениях и целиком располагаются на гиперболическом параболоиде (рис. 18.12). Def. Прямые (18.27) и (18.28) называ­ются прямолинейными образующими гиперболического параболоида.		Рис. 18.12
	Идея использования линейчатого характера однополостного гиперболоида в строительной технике принадлежит русскому инженеру В.Г. Шухову (1853—1939). Роль прямолинейных образующих играют железобетонные или металлические балки. Такие конструкции оказались легкими и прочными, поскольку каждая образующая в нескольких местах соединена с другими образующими. В 1920-1922 гг. в

г. Москва по проекту В. Г. Шухова была построена радиовышка на Шаболовке высотой около 150 м. Башня получила признание как одно из самых красивых и выдающихся достижений инженерной мысли в мире.

Рекомендованная литература

1. Артамонов В.А. Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию / В.А. Артамонов. – М.: Факториал Пресс, 2007. – 128 с.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учеб. для ВУЗов / Д.В. Беклемишев. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 304 с.

3. Винберг Э.Б. Курс алгебры / Э.Б. Винберг. – М.: Факториал Пресс, 2001. – 544 с.

4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре / И.М. Гельфанд. – М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. – 320 с.

5. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения / Л.И.Головина. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1975. – 408 с.

6. Дураков Б.К. Краткий курс высшей алгебры / Б.К. Дураков. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 232 с.

7. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972. – 272 с.

8. Ильин В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М.: Наука. Физматлит, 1999. – 224 с.

9. Ильин В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320с.

10. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г.Курош. – М.: Наука, 1975. – 432 с.

11. Погорелов А.В. Лекции по аналитической геометрии / А.В. Погорелов. – Харьков: Изд-во ХГУ им. А.М. Горького, 1963. – 182 с.

12. Рублев А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии / А.Н. Рублев. – М.: Высшая школа, 1972. – 424 с.

13. Рудавський Ю.К. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: навч. підручник/ Ю.К. Рудавський, П.П. Костробій, Х.П. Лунник, Д.В. Уханська. – Львів: Видавництво «Бескид Біт», 2022. – 262 с.

14. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре / Д.К. Фадеев. – М..: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. – 416 с.

131