- •И.Н. Реутова конспект лекций по алгебре и геометрии
- •Часть 1.
- •Содержание
- •Системы линейных уравнений и их матрицы. Сведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду (метод гаусса) Системы линейных уравнений и их матрицы.
- •Метод Гаусса
- •Перестановки и подстановки. Определитель n-го порядка
- •Перестановки
- •Подстановки
- •Определитель n-го порядка
- •Свойства определителей. Свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей. Правило крамера. Миноры и алгебраические дополнения
- •Вычисление определителей
- •1.Метод Гаусса.
- •2. На основании теоремы Лапласа.
- •3. Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.
- •Правило Крамера.
- •Матрицы. Операции над матрицами. Линейные преобразования и матрицы
- •Линейные операции над матрицами
- •Нелинейные операции над матрицами
- •Обратная матрица. Элементарные матрицы и их применение. Обратная матрица
- •Элементарные матрицы и их применение
- •Метод Жордана-Гаусса нахождения обратной матрицы
- •Векторное n-мерное пространство. Линейная зависимость векторов. Ранг матрицы. Общая теория систем линейных уравнений. Векторное n-мерное пространство
- •Линейная зависимость векторов
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Некоторые общие понятия алгебры. Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Группы. Кольца. Поля
- •Поле комплексных чисел
- •Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора. Основные понятия векторной алгебры
- •Линейные операции над векторами и их свойства
- •Линейная зависимость (независимость) векторов. Базис, координаты вектора
- •Декартова система координат. Координаты вектора
- •Проекция вектора на ось. Геометрический смысл декартовой системы координат. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось
- •Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторное, смешанное и двойное векторное произведение векторов Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Двойное векторное произведение векторов
- •Понятие об уравнении линии. Прямая на плоскости. Понятие об уравнении линии
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Другие виды уравнения прямой на плоскости
- •Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение пучка прямых
- •Плоскость в пространстве Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Пучок плоскостей
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Основные задачи на прямую в пространстве
- •1. Угол между двумя прямыми в пространстве.
- •3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Кривые второго порядка (продолжение) Директрисы эллипса и гиперболы
- •Парабола
- •Кривые второго порядка с осями симметрии параллельными координатным осям
- •Поверхности второго порядка
- •Эллипсоид
- •Однополостной гиперболоид
- •Двухполостной гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
- •Рекомендованная литература
Вычисление определителей
Сформулированные свойства определителей порождают методы их вычисления.
1.Метод Гаусса.
Этот метод заключается в том, что сначала определитель приводят к верхнетреугольному виду, а затем применяют теорему об определителе верхнетреугольной матрицы.
|
Пьер-Симо́н Лапла́с (23.03.1749 — 5.03.1827) — выдающийся французский математик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей. Заслуги Лапласа в области чистой и прикладной математики громадны: он усовершенствовал почти все разделы этих наук. |
N. Вычислить определитель
Решение.
2. На основании теоремы Лапласа.
Теорема Лапласа (о разложении определителя по строке или столбцу) позволяет свести вычисление n-го порядка к вычислению нескольких определителей порядка (алгебраических дополнений). Особенно удобно использовать разложение по тем строкам (или столбцам), в которых есть нулевые элементы.
N. Вычислить определитель
Решение.
Разложим определитель по элементам второго столбца:
, , .
Значит,
3. Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.
Пусть дан определитель определенной структуры. Если удается выразить его через определитель такой же структуры, но меньшего порядка, то говорят, что получено рекуррентное соотношение ( ).
На основании этого соотношения, выражая через , …, через , получают значение определителя.
N. Вычислим определитель Вандермонда .
Решение.
Вычтем из каждой строки предыдущую, умноженную на :
Разложим определитель по элементам первого столбца:
.
Теперь можно вынести из первого столбца общий множитель , из второго – и т.д., из последнего – . Имеем:
.
Стоящий в правой части определитель также является определителем Вандермонда порядка , т.е.:
.
Поступим с этим определителем аналогичным образом. Получим:
.
Продолжая аналогичные рассуждения, окончательно имеем:
Правило Крамера.
Теория определителей имеет широкое применение в теории систем линейных уравнений.
Lemma |
Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю. |
Доказательство.
Пусть дан определитель .
|
Габриэ́ль Кра́мер (31.07.1704 — 4.01.1752) — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры. Заложил основы теории определителей. Ему принадлежат также исследования по теории алгебраических кривых высших порядков. |
Рассмотрим другой определитель , отличающийся от только тем, что в k-ом столбце повторен i-ый столбец.
.
По теореме 3.4 . Разложим его по элементам k-го столбца, получим:
, где - алгебраические дополнения к элементам k-го столбца определителя . Но поскольку отличается от только k-ым столбцом, то они будут и алгебраическими дополнениями элементов k-го столбца и в определителе . Таким образом.
.
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:
(4.3)
Назовем определитель матрицы СЛУ (4.3) главным определителем этой системы. Умножим первое уравнение на , второе – на и т.д., n-ое уравнение – на и сложим их. Имеем:
.
Согласно выше доказанной лемме , …, . В силу следствия из теоремы Лапласа о разложении определителя по элементам столбца , а - определитель, полученный из главного определителя СЛУ путем замены его первого столбца столбцом свободных членов. Таким образом, получили: (4.4)
Аналогично получаем: , …, (4.5)
1) Если , то СЛУ (4.3) имеет единственное решение:
|
(4.6) |
Формулы (4.6) называются формулами Крамера.
2) Если , а хотя бы один из , то СЛУ (4.3) несовместна.
3) Если , то СЛУ (3.9) неопределенна или несовместна.