Системы линейных уравнений и их матрицы. Сведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду (метод гаусса) Системы линейных уравнений и их матрицы.

Рассмотрим систему s линейных уравнений с n неизвестными. Условимся употреблять следующую символику: неизвестные будем обозначать , уравнения будем считать перенумерованными (1-е, 2-е, …, s-е), коэффициент i-го уравнения при неизвестной j будем обозначать , свободный член i-го уравнения будем обозначать . Тогда рассматриваемая система линейных уравнений (СЛУ) запишется в виде:

(1.1)

Def. Решением системы линейных уравнений (СЛУ) называется упо­ря­доченный набор чисел , которые, будучи подставленными в (1.1) вместо соответственно, обращают все уравнения в верные равенства.

Def. Если СЛУ имеет решения, то она называется совместной, в противном случае она называется несовместной.

Def. Если СЛУ имеет единственное решение, то она называется определенной, если же более, чем одно, то она называется неопределенной.

N. Система определенная, поскольку имеет единственное решение (1;2).

N. Система неопределенная, поскольку имеет множество решений вида (-k,k) где .

Def. Если в СЛУ для любых , то система называется однородной.

Def. Таблицу составленную из коэффициентов системы (1.1) называют матрицей СЛУ:

(1.2)

Если матрица состоит из s строк и n столбцов, то говорят, что она имеет размер . Обозначают матрицы большими латинскими буквами (А, B,C) или указывая общий вид элементов( , и т.д.) Если , то матрица называется квадратной.

Элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ, а элементы - побочную диагональ.

Def. Если к матрице СЛУ приписать столбец свободных членов, то полученную матрицу называют расширенной матрицей системы (при этом столбец свободных членов часто отделяют вертикальной чертой). Обозначают расширенную матрицу СЛУ . Таким образом:

(1.3)

Заметим, что расширенная матрица содержит всю информацию о СЛУ.

Def. Две СЛУ с одним и тем же числом неизвестных называют равносильными (или эквивалентными), если они имеют одни и те же решения или обе несовместны.

Если СЛУ (1) равносильна СЛУ (2), то записывают: (1) (2).

Очевидно, что равносильность СЛУ обладает следующими свойствами:

1. (1) (1), т.е. СЛУ равносильна сама себе (закон рефлексивности).

2. Если (1) (2), то (2) (1) (закон симметричности)

3. Если (1) (2) и (2) (3), то (1) (3) (закон транзитивности)

Def. Элементарными преобразованиями СЛУ называют следующие:

• умножение обеих частей любого из уравнений на число ;

• перемену мест любых двух уравнений;

• прибавление к частям любого из уравнений СЛУ соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число .

Th.1.1

Если к СЛУ (1.1) применить конечное число элементарных преобразований, то получим равносильную СЛУ.

Доказательство.

Для первых двух преобразований утверждение очевидно. Покажем, что оно справедливо и для третьего вида преобразований. Поскольку любые два уравнения можно переместить на 1-е и 2-е место, то, не нарушая общности, проведем доказательство для первых двух уравнений. Умножим обе части второго уравнения на и прибавим к соответствующим частям первого уравнения. Имеем:

(1.4)

Пусть – произвольное решение СЛУ (1.1). Покажем, что является и решением (1.4). Поскольку все уравнения, кроме первого не изменились, то очевидно удовлетворяет им. Покажем, что этот набор чисел удовлетворяет и первому уравнению. Перегруппируем слагаемые в первом уравнении следующим образом:

.

Так как – решение СЛУ (1.1), то , а . Таким образом, имеем верное равенство . Значит, – решение СЛУ (1.4).

Покажем, что произвольное решение СЛУ (1.4) является решением СЛУ (1.1). Умножим второе уравнение СЛУ (1.4) на число и прибавим к первому уравнению. В результате получим СЛУ (1.1). В силу доказанного, данное преобразование сохраняет решения СЛУ (1.4) решениями СЛУ (1.1). Значит, решения СЛУ совпадают и (1.1) (1.4).