Смешанное произведение векторов
Def.
Смешанным
произведением векторов
и
называется число равное скалярному
произведению векторного произведения
первых двух векторов и третьего вектора,
т.е.
Th.12.2 |
(выражение смешанного произведения через координаты сомножителей)
Если
|
и
то
(12.7)Доказательство.
Согласно (12.6)
Согласно
(11.13)
С другой стороны
Теорема доказана .
Th.12.3 |
(свойства смешанного произведения векторов) 1. Смешанное произведение не меняется при перемене мест знаков векторного и скалярного произведения, т.е.
В
связи с этим принято обозначение
2.
При циклической перестановке векторов
смешанное произведение не меняется,
т.е.
3.
При перемене мест любых двух
векторов-сомножителей смешанное
произведение меняет свой знак на
противоположный, т.е.
4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны. 5. Смешанное произведение векторов и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «–», если они образуют левую тройку. |
(12.8)
(12.9)
(12.10)Доказательство.
Первые три свойства непосредственно следуют теоремы 12.2 и свойств определителей.
4. Смешанное произведение векторов определяется значением определителя (12.7). Согласно критерию равенства нулю определителя (теорема 7.8) это возможно тогода и только тогда, когда строки определителя линейно зависимы, т.е. векторы и линейно зависимы, а, значит, компланарны .
5.
Построим параллелепипед на векторах
Если
векторы
и
образуют правую тройку (рис. 12.4), то
|
Рис. 12.4
Рис. 12.5 |
равно
площади параллелограмма
,
лежащего в основании параллелепипеда.
равна
высоте параллелепипеда
Если же данные векторы образуют левую
тройку (рис. 12.5), то
равна
Таким образом,
.
N.
Найти объем тетраэдра, построенного на
векторах
и
Решение.
Найдем
по формуле (12.7).
Тогда,
(куб.ед.)
Ответ.
куб.ед.
Двойное векторное произведение векторов
Def.
Двойным
векторным произведением
векторов
и
называется произведение
Th.12.4 |
Для любых векторов и
|
(12.11)Доказательство.
Покажем,
что в левой и правой части (12.11) стоит
один и тот же вектор. Выберем прямоугольную
декартову систему координат так, чтобы
а
и
Согласно
(12.6)
|
Рис. 12.6 |
были компланарны (рис. 12.6). В этой
системе координат
и
имеют следующие координаты:
и
Тогда
Теорема
доказана
.
Таким образом, формула (12.11) позволяет вычислить двойное векторное произведение значительно быстрее, чем по определению.
N.
Найти
,
если
и
Решение.
Ответ.
