Однополостной гиперболоид

Def. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

(18.4)

Исследуем форму однополостного гиперболоида по той же схеме, по которой исследовали форму эллипсоида.

1. Из уравнения (18.4) следует, что оси коодинат являются осями симметрии однополостного гиперболоида, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а начало отсчета – центром симметрии. Ось поверхность пересекает в точках с координатами ось в точках с координатами точек пересечения с осью нет.

2. Линия пересечения однополостного гиперболоида с плоскостью имеет уравнение:

Данная линия представляет собой эллипс с полуосями и

3. Рассмотрим пересечение однополостного гиперболоида и плоскости Линия пересечения задается уравнением

или

(18.5)

т.е представляет собой эллипс с полуосями и Заметим, что полуоси неограниченно увеличиваются с увеличением Таким образом, гиперболоид (18.4) представляет собой поверхность, подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлениях по оси

4. Линией пересечения однополостного гиперболоида с плоскостью будет гипебола

с действительной полуосью и мнимой полуосью А линией пересечения гиперболоида с плоскостью также является гипербола с действительной полуосью и мнимой полуосью Таким образом, однополостной гиперболоид (18.4) имеет вид, изображенный на рис. 18.2. Def. Если линиями пересечения однополостного гиперболоида (18.4) с плоскостями являются не эллипсы, а окружности, то он

Рис. 18.2

называется однополостным гиперболоидом вращения.

Def. Числа называют полуосями однополостного гиперболоида.

Двухполостной гиперболоид

Def. Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(18.6)

Исследуем форму двухполостного гиперболоида.

1. Из уравнения (18.6) следует, что оси коодинат являются осями симметрии двухполостного гиперболоида, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а начало отсчета – центром симметрии. Ось поверхность пересекает в точках с координатами точек пересечения с осями и нет.

2. В сечении двухполостного гиперболоида плоскостью имеем мнимый эллипс:

В сечении данного гиперболоида плоскостями получаем линию, задаваемую уравнением

или

(18.7)

Уравнение (18.7) при задает эллипс с полуосями и который при вырождается в точку (точки пересечения с осью ). При песечение двухполостного гиперболоида (18.6) и плоскости пусто.

Это значит, что в пространстве между плоскостями не содержится точек рассматриваемой поверхности, эта поверхность состоит из двух полостей, расположенных так, как показано на рис. 18.3.

3. Линия пересечения исследуемой поверхности и плоскости задается уравнением

Это гипербола с действительной полуосью и мнимой полуосью Аналогично линией пересечения двухполостного гиперболоида и плоскости является гипербола

Рис. 18.3

с действительной полуосью и мнимой полуосью

Def. Числа называют полуосями двухполостного гиперболоида.

Def. Если в гипербодоиде (18.6) в сечении плоскостями получаются окружности, то его называют двухполостным гиперболоидом вращения.