- •И.Н. Реутова конспект лекций по алгебре и геометрии
- •Часть 1.
- •Содержание
- •Системы линейных уравнений и их матрицы. Сведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду (метод гаусса) Системы линейных уравнений и их матрицы.
- •Метод Гаусса
- •Перестановки и подстановки. Определитель n-го порядка
- •Перестановки
- •Подстановки
- •Определитель n-го порядка
- •Свойства определителей. Свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей. Правило крамера. Миноры и алгебраические дополнения
- •Вычисление определителей
- •1.Метод Гаусса.
- •2. На основании теоремы Лапласа.
- •3. Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.
- •Правило Крамера.
- •Матрицы. Операции над матрицами. Линейные преобразования и матрицы
- •Линейные операции над матрицами
- •Нелинейные операции над матрицами
- •Обратная матрица. Элементарные матрицы и их применение. Обратная матрица
- •Элементарные матрицы и их применение
- •Метод Жордана-Гаусса нахождения обратной матрицы
- •Векторное n-мерное пространство. Линейная зависимость векторов. Ранг матрицы. Общая теория систем линейных уравнений. Векторное n-мерное пространство
- •Линейная зависимость векторов
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Некоторые общие понятия алгебры. Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Группы. Кольца. Поля
- •Поле комплексных чисел
- •Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора. Основные понятия векторной алгебры
- •Линейные операции над векторами и их свойства
- •Линейная зависимость (независимость) векторов. Базис, координаты вектора
- •Декартова система координат. Координаты вектора
- •Проекция вектора на ось. Геометрический смысл декартовой системы координат. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось
- •Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат
- •Скалярное произведение векторов
- •Векторное, смешанное и двойное векторное произведение векторов Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Двойное векторное произведение векторов
- •Понятие об уравнении линии. Прямая на плоскости. Понятие об уравнении линии
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Другие виды уравнения прямой на плоскости
- •Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение пучка прямых
- •Плоскость в пространстве Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Пучок плоскостей
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Основные задачи на прямую в пространстве
- •1. Угол между двумя прямыми в пространстве.
- •3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Кривые второго порядка (продолжение) Директрисы эллипса и гиперболы
- •Парабола
- •Кривые второго порядка с осями симметрии параллельными координатным осям
- •Поверхности второго порядка
- •Эллипсоид
- •Однополостной гиперболоид
- •Двухполостной гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
- •Рекомендованная литература
1. Пересечение прямой и плоскости.
Пусть задана прямая своим параметрическим уравнением и плоскость Найдем их точки пересечения.
Для этого необходимо решить систему уравнений:
(15.13)
Подставим в 3-е уравнение выражения для .
Если то (15.13) имеет единственное решение и прямая пересекает плоскость.
Если то система (15.13) не имеет решений, а значит, прямая параллельна плоскости.
Если то система (15.13) имеет бесконечно много решений, а значит прямая лежит в плоскости.
2. Угол между прямой и плоскостью.
Пусть задана прямая с направляющим вектором и плоскость с нормальным векторм Угол между прямой и плоскостью определяется углом между направляющим вектором прямой и |
Рис. 15.7 |
нормальным вектором плоскости. Пусть – острый угол (рис. 15.7). Тогда и Но значит,
(15.14)
Если – тупой угол (рис. 15.8), то . В этом случае и
|
Рис.15.8 |
Обобщая эти два случая, получаем:
(15.15)
Кривые второго порядка
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями сторой степени относительно текущих координат
(16.1)
где и Такие линии называют кривыми второго порядка. Позже мы докажем, что уравнение (16.1) определяет на плоскости эллипс, гиперболу, параболу, пару прямых (параллельных, совпадающих, пересекающихся) или пустое множество. В лекциях 16-17 рассмотрим свойства эллипса, гипеболы и параболы.
Эллипс
Def. Эллипсом называется геометричекое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов), есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). Обочначим сумму расстояний до фокусов а расстояние между фокусами (фокальное расстояние) – Пусть – фокусы эллипса. |
Рис. 16.1 |
Выберем декартову систему координат так, чтобы (рис. 16.1). В нашем случае Пусть – текущая точка эллипса. – фокальные радиусы.
Тогда:
(16.2)
(16.3)
Заметим, что по определению эллипса , т.е. Обозначим
(16.4)
Тогда (16.3) принимает вид:
Разделим обе части полученного уравнения на Получим:
(16.5)
Уравнение (16.5) называют каноническим уравнением эллипса.
Исследуем форму эллипса.
1. Очевидно, что Аналогично, Следовательно. точки эллипса лежат внутри прямоугольника, ограниченного прямыми
2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положим Из уравнения (16.5) получим Т.е. точки – точки пересечения с осью Положив в уравнении (16.5) находим точки пересечения эллипса с осью
Def. Точки называют вершинами эллипса. Отрезки и , а также их длины и называются соответственно большой и малой осями. Числа называются соответственно большой и малой полуосями.
3. Если точка принадлежит эллипсу, то точки также принадлежат эллипсу. Отсюда следует симметрия эллипса относительно координатных осей и начала отсчета. Центр симметрии эллипса называют еще центром эллипса, т. е. для эллипса, заданного уравнением (16.5), точка |
Рис. 16.2 |
– центр эллипса.
4. Из уравнения (16.5) следует, что если возрастает от 0 до то будет уменьшаться от до 0 и наоборот.
Таким образом, эллипс имеет форму, изображенную на рис. 16.2.
Замечание.
1. Если то уравнение (16.5) принимает вид – уравнение окружности с центром в начале отсчета и радиусом В этом случае согласно (16.4) Следовательно, фокусы эллипса совпадают с центром окружности. Таким образом, окружность можно считать частным случаем эллипса.
2. Если фокусы эллипса принадлежат оси то уравнение эллипса имеет тот же вид, но и В этом случае – большая ось, а – малая ось.
Def. Величину , равную отношению половины фокального расстояния к большой полуоси называют эксцентриситетом эллипса.
Т.е. для эллипса с фокусами на оси
(16.6)
Причем, т.к.
Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Действительно,
(16.7)
Из (16.7) следует, что если то Если то Значит, чем больше тем более «сплющенным» к оси будет эллипс. Для окружности
Понятно, что для эллипса с фокусами на оси
(16.7)
При выводе канонического уравнения эллипса мы получили следующие выражения для фокальных радиусов:
Используя понятие эксцентриситета, можно получить рациональные выражения для фокальных радиусов. Действительно, из (16.2)
Разделим обе части равенства на Получим т.е.
(16.8)
Учитывая, что получаем, что
(16.9)