Кривые второго порядка с осями симметрии параллельными координатным осям

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке оси симметрии которого параллельны координатным осям и и полуоси соответсвтенно равны и Выберем новую систему координат с началом в точке и осями и параллельными соотвестветственно

Рис. 17.8

осям и и одинаково с ними направленными (рис. 17.8).

В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:

.

Но т.к. и (известные из школьного курса формулы связи старых и новых координат при параллельном переносе), то в старой системе координат уравнение эллипса имеет вид:

(17.4)

Рис. 17.9

Рассуждая аналогично, получаем уравнение гиперболы с центром в точке действительной полуосью и мнимой полуосью (17.5)

И, наконец, параболы, изображенные на рис. 17.8-17.11 имеют соответствующие уравнения:

Рис. 17.8	Рис. 17.9
Рис. 17.10	Рис. 17.11

Поверхности второго порядка

Def. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, определяемое в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением второй степени:

(18.1)

После применения движения и, возможно, умножения уравнения на ненулевой коэффициент, уравнение поверхности в трехмерном пространстве приводится к одному из следующих видов:

1. (эллипсоид)

2. (мнимый эллипсоид)

3. (однополостной гиперболоид)

4. (двуполостной гиперболоид)

5. (конус)

6. (мнимый конус)

7. (эллиптический параболоид)

8. (гиперболический параболоид)

9. (эллиптический цилиндр)

10. (мнимый цилиндр)

11. (гиперболический цилиндр)

12. (параболический цилиндр)

13. (пара пересекающихся плоскостей)

14. (пара мнимых пересекающихся плоскостей)

15. (пара параллельных плоскостей)

16. (пара мнимых параллельны плоскостей)

17. (пара совпадающих плоскостей)

Эллипсоид

Def. Эллипсоидом назывется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

(18.2)

Исследуем форму эллипсоида по его сечениям плоскостями.

1. Очевидно, что эллипсоид пересекает оси координат в точках

Из уравнения (18.2) следует, что и т.е. эллипсоид представляет собой поверхность, заключенную в параллелепипеде Координатные плоскости являются плоскостями симметрии, координатные оси – осями симметрии, а начало координат – центром симметрии.

2. Рассмотрим сечение данного эллипсоида плоскостью Уравнение линии пересения имеет вид:

Данная линия представляет собой эллипс с полуосями и

Аналогично устанавливаем, что пересечением эллипсоида плоскостью будет эллипс

с полуосями и а плоскостью эллипс

с полуосями и

3. Рассмотрим теперь линию пересечения эллипсоида с плоскостью параллельной плоскости Уравнение этой линии имеет вид:

или

(18.3)

При уравнение (18.3) задает эллипс с полуосями и При эллипсоид и эллипс не имеет общих точек. При эллипсоид и плоскость пересекаются в одной точке (вырожденный эллипс).

Аналогично находим, что в пересечении эллипсоида с плоскостями и также получаются эллипсы.

Таким образом, эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, линиями пересечения которой с координатными плоскостями и плоскостями, параллельными им, являются эллипсы (рис. 18.1). Def. Числа называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, эллипсоид называется трехосным. Если эллипсоид превращается в сферу.

Рис. 18.1