Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат

Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат выражается следующей теоремой.

Th.11.2

Если то

Доказательство.

Пусть . Через конец вектора точку проведем плоскости параллельные координатным плоскостям Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно (рис. 11.9). Очевидно С другой стороны Значит,

Рис. 11.9

Но Теорема доказана .

Следствие. Если то

(11.5)

Доказательство вытекает из формулы длины диагонали в прямоугольном параллелепипеде.

Def. Обозначим углы, которые образует вектор с координатными осями через соответственно. называются направляющими косинусами вектора

Из треугольника (рис. 11.9):

(11.6)

Аналогично получаем

(11.7)

Нетрудно увидеть, что

(11.8)

Скалярное произведение векторов

Def. Скалярным произведением векторов называют число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Обозначают или Т.е.

(11.9)

где угол между и

Из формулы (11.9) имеем:

(11.10)

Согласно (11.2)

Заменяя по формуле (11.10), получаем:

(11.11)

Соотношение (11.11) можно записать и в таком виде:

(11.12)

Свойства скалярного произведения векторов

1. (коммутативный закон) (11.13) 2. (11.14) 3. (дистрибутивный закон) (11.15) 4. (11.16) 5. Два ненулевых вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Свойства 1, 2, 4, 5 вытекают непосредственно из определения. Докажем свойство 3. Согласно (11.12) и (11.4)

Что и требовалось доказать .

Th.11.3

Если и то (11.13)

Доказательство.

Согласно (11.16) А поскольку взаимно перпендикулярные векторы, то

Получаем .

N. Векторы и образуют угол Найдите если а

Решение.

Упростим искомое выражение на основании свойств скалярного произведения.

Согласно свойству 4:

По определению скалярного произведения

Тогда,

Ответ.

Векторное, смешанное и двойное векторное произведение векторов Векторное произведение векторов

Def. Векторным произведением векторов и называется вектор определяемый следующим образом:

1)

2) образуют правую тройку векторов;

3) где угол между и

Свойства векторного произведения

1. (12.1) 2. (12.2) 3. (12.3) 4. (12.4) 5. (12.5) 6. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение есть нулевой вектор. 7. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и

Доказательство.

1. Очевидно, что векторы и имеют одинаковые модули, коллинеарны и противоположно направлены, т.к. тройки и противоположной ориентации (рис. 12.1). Значит, .

2. Для утверждение очевидно, т.к. левая и правая часть соотношения (12.2) есть нулевой вектор.

Пусть Заметим, что Также (векторы и лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Кроме того, эти векторы имеют одинаковую длину. Действительно,

Рис. 12.1

Учитывая, угол между векторами и равен углу между векторами и то Поэтому Аналогично свойство доказывается и для .

3. Свойство 3 является непосредственным следствием свойств 1 и 2.

4. Для доказательства этого свойства воспользуемся следующей леммой.

Lemma

Пусть имеется два вектора и Обозначим проекцию вектора на плоскость , перпендикулярную вектору (рис. 12.2). Тогда

Доказательство леммы.

Векторы и имеют равные модули. Действительно, где угол между и

Рис. 12.2

Выясним направленность этих векторов. Вектор лежит в плоскости , т.к Учитывая, что можем сделать вывод, что (теорема о трех перпендикулярах). Значит, и коллинеарны. Кроме того, тройки и имеют одинаковую ориентацию. Значит, и сонаправлены. Откуда заключаем, что .

Теперь докажем свойство 4. Соотношение (12.4) справедливо при Пусть Обозначим через и проекции векторов и на плоскость, перпендикулярную вектору (рис. 12.3). Построим Тогда векторы и получаются из векторов и соответственно поворотом на угол И, следовательно,

А так как, согласно доказанной лемме,

то .

5. Свойство 5 является непосредственным следствием свойств 1 и 4.

6. Свойство 6 непосредственно вытекает из определения векторного произведения. 7. Действительно, (рис. 12.3).

Рис. 12.3

Th.12.1

(выражение векторного произведения через координаты сомножителей) Если и то (12.6)

Доказательство.

Согласно свойству 6 векторного произведения По определению

Имеем

С другой стороны

Теорема доказана .

N. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и если где

Решение.

Упростим выражение основываясь на свойствах векторного произведения.

Вычислим , по формуле 12.6.

Значит,

Тогда

(кв. ед.)

Ответ. кв. ед.