Понятие об уравнении линии. Прямая на плоскости. Понятие об уравнении линии

Def. Уравнением линии на плоскости в декартовой системе координат называют уравнение:

, (13.1)

которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, которые не принадлежат ей.

N. Например, – уравнение прямой, проходящей через начало координат и являющейся биссектрисой І и ІІІ координатных четвертей.

- уравнение окружности с центром в точке и радиусом

Пусть линия задана уравнением , а линия - уравнением . Точки пересечения этих линий, если они существуют, принадлежат обеим линиям, т.е. удовлетворяют обоим уравнениям. Таким образом, решение задачи по отысканию точек пересечения и сводится к решению системы уравнений:

(13.2)

N. Найти точки пересечения окружности и прямой

Решение.

Решим систему уравнений Исключая из первого уравнения получаем: Отсюда и, соответственно, . Таким образом, точки – искомые.

Def. Алгебраической линией называется такая линия, которая задается в ДСК уравнением , где – многочлен. Степень этого многочлена называется порядком этой линии.

Def. Линии, которые не являются алгебраическими называются трансцендентными.

N. - алгебраическая линия второго порядка.

– трансцендентные линии.

Пусть заданы две функции одного аргумента:

(13.3)

Условимся рассматривать и как координаты некоторой точки в заданной системе координат. Тогда при изменении параметра положение точки меняется и она перемещается по плоскости. Равенства (13.3) называются параметрическими уравнениями траектории точки.

Пусть уравнение (13.1) является следствием (13.3), тогда ему удовлетворяют координаты любой точки линии (13.3) при любых . Если при этом, если точка пробегает всю линию (13.1), то уравнение представляет собой обычное уравнение линии (13.3). Составление такого следствия называют исключением параметра.

N. Исключить параметр из параметрических уравнений траектории точки

Решение.

Возведем каждое из уравнений в квадрат и сложим их почленно. Получим: .

Значит, точка движется по окружности с центром в начале координат и радиуса 1. Причем, т.к. то луч образующий с осью угол занимает всевозможные положения. Значит, точка М пробегает указанную окружность бесконечное число раз.

Замечание. Не всегда возможно исключить параметр из параметрических уравнений линии.

Уравнение прямой на плоскости

Th. 13.1	Любая прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением первой степени: (13.4) И, наоборот, любое уравнение первой степени определяет на плоскости прямую.
Доказательство. 1) Положение прямой однозначно определяется точкой которая принадлежит прямой, и вектором Будем называть этот вектор нормальным вектором прямой или нормалью. Т.к , то Выберем - текущую точку прямой		Рис. 13.1

Очевидно, что тогда и только тогда, когда или В координатной форме последнее равенство имеет вид:

(13.5)

После раскрытия скобок получаем , где Таким образом, первая часть утверждения теоремы доказана.

2) Пусть – одно из решений уравнения (13.4), т.е.

(13.6)

Вычтем из уравнения (13.4) уравнение (13.6), получим Это уравнение является координатной записью условия где Но это условие определяет прямую, которая проходит через точку М перпендикулярно вектору . Таким образом, доказано и второе утверждение теоремы .

Замечания.

1. Уравнение называется уравнением прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

2. Уравнение (13.4) называют общим уравнением прямой. Коэффициенты перед переменными в общем уравнении прямой на плоскости имеют вполне определенный геометрический смысл: они являются координатами нормального вектора прямой.

3. Очевидно, что если в уравнении (13.4) то прямая проходит через начало координат.

4. Если в уравнении (13.4) то В этом случае прямая параллельна оси Аналогично, если в уравнении (13.4) то прямая параллельна оси